Малый Мехмат                        9 класс 
 
 
 Занятие 15              17 февраля 2001 года 
 

Комбинаторика. Вероятность.

Задачи, в которых требуется найти количество способов что-то сделать или количество случаев, при которых имеет место какое-то событие, относятся к комбинаторике. Предположим, нам надо подсчитать, сколькими способами можно осуществить некоторое действие. Предположим также, что нам удалось разбить это действие на две части, причем первую часть можно осуществить n способами, а вторую часть -- m способами. Тогда очевидно, что все действие целиком можно осуществить n ^. m способами. Это утверждение называется основным правилом комбинаторики. Например, если в меню в столовой вам предлагается два варианта первого блюда, четыре варианта второго и три варианта третьего, то выбрать обед из трех блюд можно 2 ^. 4 ^. 3 = 24 способами.

Родственными к комбинаторным являются вероятностные задачи. Вероятностью события называется отношение количества случаев, при которых данное событие имеет место, к общему количеству возможных случаев. К примеру, при бросании игральной кости возможны шесть различных результатов; из них лишь в одном выпадает шестерка. Поэтому вероятность выпадения шестерки равна 1/6.

Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно составить, переставляя следующие буквы:             

M	A	T	E	M	A	T	И	K	A		?

Сколько различных календарей нужно напечатать, чтобы из них наверняка можно было выбрать календарь на любой год?

Найти сумму коэффициентов многочлена (x - 2)¹⁹⁹⁹.

Грани кубика раскрашиваются в шесть данных цветов. Сколькими способами это можно сделать? Раскраски, получаемые друг из друга вращениями кубика, считаются а) различными; б) одинаковыми.

После окончания спектакля "Ревизор" Бобчинский и Добчинский начали препираться на сцене по поводу того, кто первый сказал "Э!". Бобчинский: Это Вы, Петр Иванович, первый сказали "Э!". Вы сами раньше так говорили. Добчинский: Нет, Петр Иванович, я так не говорил. Это Вы семгу первый заказали. Вы и сказали "Э!". А у меня зуб во рту со свистом. Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у Вас зуб со свистом. Но все-таки это Вы первый сказали "Э!". Выясните, кто первый сказал "Э!", если известно, что из девяти произнесенных фраз нечетное число верных.

В колоде 52 карты. Какова вероятность, что две наугад выбранные карты из колоды окажутся тузами?

Какой результат более вероятен при бросании двух игральных костей: 7 или 8?

Какова вероятность, что при бросании трех игральных костей выпадет хотя бы одна шестерка?

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше -- доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

Найдите ошибку в следующем "доказательстве" того, что все числа равны. Рассмотрим два произвольных числа a и b и запишем равенство

a = b + c.

Умножив обе его части на a - b, получим

a² - ab = ab + ac - b² - bc.

Перенесем ac в левую часть:

a² - ab - ac = ab - b² - bc,

и разложим на множители:

a(a - b - c) = b(a - b - c).

Разделив обе части равенства на a - b - c, получаем

a = b.

---