многочлен с простыми значениями
5.03.2001 16:14 |
МЦНМО
Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля)
с целыми коэффициентами, принимающего при каждом натуральном
значении аргумента значение, равное некоторому простому числу.
Хочу подсказку
Решение:
Предположим, что условие задачи неверно, и существует
многочлен P(x) ненулевой степени
с целыми коэффициентами, принимающий при каждом натуральном
значении аргумента значение, равное некоторому простому числу.
Пусть для некоторого натурального числа n выполнено равенство
P(n)=p, где p - некоторое простое число.
Заметим, что P(n+p) при этом также делится на p.
Поскольку число P(n+p) должно быть простым, получаем, что
P(n+p)=p. Аналогичным образом, P(n+2p)=P(n+3p)=...=p.
Таким образом, многочлен Q(x)=P(x)-p
принимает нулевое значение в точках
n, n+p, n+2p,... . Однако, степень многочлена Q(x) больше нуля,
поэтому он не может иметь бесконечное число корней - противоречие.
Написать комментарий
|
