суммы расстояний
25.02.2001 17:47 |
МЦНМО
На прямой отмечено 2001 точек, лежащих вне отрезка AB.
Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки
A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.
Хочу подсказку
Решение:
Пусть сумма расстояний от данных точек до точки
A равна SA, а сумма расстояний от данных точек до точки
B равна SB.
Докажем, что разность SA-SB не равна 0.
Для того, чтобы вычислить эту разность,
нужно взять разности расстояний от каждой из 2001 точек до точки A
и до точки B и сложить эти разности. Если некоторая точка M лежит
на прямой AB вне
отрезка AB, то разность MA-MB равна либо AB (в том случае, когда
B лежит между A и M), либо -AB (в том случае, когда
A лежит между B и M).
Таким образом, разность SA-SB равна сумме
2001 слагаемых, каждое из которых равно либо AB, либо -AB.
Пусть k слагаемых равно AB и 2001-k слагаемых равно -AB.
Тогда
SA-SB=k*AB+(2001-k)*(-AB)=(2k-2001)*AB.
Поскольку число (2k-2001) нечетно,
разность SA-SB
не может быть равна 0.
Написать комментарий
|
