Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Алгебра гармонического осциллятора. Метод факторизации

Покажем, что спектр и собственные векторы гамильтониана ГО можно найти, используя только алгебру наблюдаемых и общие свойства гильбертова пространства состояний.
Запишем гамильтониан в виде

$\hat H=\frac{\hbar\omega}{2}\hat h,\; \hat h=\left(\frac{\hat p_x}{p_0}\right)^2+\left( \frac{\hat x}{x_0}\right)^2,$

где, как и выше, $x_0=\sqrt{\hbar/m\omega},$ a $p_0=\hbar/x_0=\sqrt{\hbar m\omega}.$ Нормированный (безразмерный) гамильтониан $\hat h$ представим в факторизованном виде:

$\hat h= \left(\frac{\hat x}{x_0}-i\frac{\hat p_x}{p_0}\right)\left(\frac{\hat x}{x_0} +i\frac{\hat p_x}{p_0}\right)-i\left[\frac{\hat x}{x_0},\frac{\hat p_x}{p_0}\right].$

Введем эрмитово сопряженные друг другу операторы

$\hat a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat x}{x_0}+i\frac{\hat p_x}{p_0}\right),\; \hat a^+=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat x}{x_0}-i\frac{\hat p_x}{p_0}\right),\; [\hat a,\hat a^+]=1,$

где учтен фундаментальный коммутатор $[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$ и равенство $x_0 p_0=\hbar.$ В результате получаем факторизованное представление гамильтониана ГО:

$\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^+\hat a+\frac{1}{2}\right).$

Задача свелась к нахождению спектра $(\lambda)$ и нормированных собственных векторов (СВ) $\varphi_\lambda$ эрмитова оператора

$\hat N=\hat a^+\hat a.$

Итак,

$\hat N\varphi_\lambda=\lambda\varphi_\lambda,\; \|\varphi_\lambda\|=1.$

Отсюда получаем:

$\lambda=(\varphi_\lambda,\hat N\varphi_\lambda)=(\hat a\varphi_\lambda, \hat a\varphi_\lambda)=\|\hat a\varphi_\lambda\|^2\ge 0,\; \|\hat a\varphi_\lambda\|=\sqrt{\lambda}.$

Следовательно, спектр энергии ГО ограничен снизу:

$E_\lambda=\hbar\omega\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)\ge \frac{1}{2}\hbar\omega.$

Итак, $\lambda\ge 0,$ причем наименьшему собственному значению $\lambda=0$ отвечает вектор $\varphi_0,$ удовлетворяющий уравнению

$\hat a\varphi_0=0.$

Далее заметим, что

$\hat a\hat N=\hat a\hat a^+\hat a=(1+\hat a^+\hat a)\hat a=(1+\hat N)\hat a,$

или

$[\hat a,\hat N]=\hat a.$

Используя этот коммутатор, получаем

$\hat a\hat N\varphi_\lambda=\lambda\hat a\varphi_\lambda=(1+\hat N)\hat a\varphi_\lambda,$

откуда

$N(\hat a\varphi_\lambda)=(\lambda-1)\hat a\varphi_\lambda.$

Следовательно,

$\hat a\varphi_\lambda=C_\lambda^{(-)}\varphi_{\lambda-1},\; C_\lambda^{(-)}\|\hat a\varphi_\lambda \|=\sqrt{\lambda}.$

Получаем нормированный СВ

$\varphi_{\lambda-1}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\hat a\varphi_\lambda.$

Подействовав k раз оператором $\hat a$ на вектор $\varphi_\lambda,$ получим нормированный СВ

$\varphi_{\lambda-k}=[\lambda(\lambda-1)\cdots (\lambda-k)]^{1/2}\varphi_\lambda.$

Мы уже доказали, что $\lambda\ge 0.$ Поэтому процедура должна оборваться при достижении СВ $\varphi_0$ . Это возможно только при

$\lambda=n=0,1,2,\ldots.$

В результате мы получили спектр энергии ГО:

$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right).$

Покажем теперь, что все СВ могут быть построены по вектору $\varphi_0.$ Воспользуемся коммутатором

$[\hat N,\hat a^+]=[\hat a,\hat N]^+=\hat a^+.$

Имеем

$\hat N\hat a^+\varphi_n=\hat a^+(\hat N+1)\varphi_n=(n+1)\hat a^+\varphi_n.$

Значит,

$\hat a^+\varphi_n=C_n^{(+)}\varphi_{n+1}.$

Далее,

$\|\hat a^+\varphi_n\|^2=(\varphi_n, \hat a\hat a^+\varphi_n)=(\varphi_n,(1+\hat N)\varphi_n) =n+1,\; C_n^{(+)}=\sqrt{n+1}.$

В итоге получим:

$\varphi_n=\frac{(\hat a^+)^n}{\sqrt{n!}}\varphi_0,\; \|\varphi_n\|=1;\; \hat a^+\varphi_n=\sqrt{n+1}\varphi_{n+1},\; \hat a\varphi_n=\sqrt{n}\varphi_{n-1}, \; \hat a\varphi_0=0.$

Применим полученные формулы в координатном представлении для вывода явных выражений для волновых функций ГО. Имеем

$\left(\begin{array}{c}\hat a\\\hat a^+\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat x}{x_0}\pm i\frac{\hat p_x}{p_0}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi\pm\frac{\partial}{\partial\xi}\right).$

Для определения волновой функции основного состояния получаем простое уравнение

$\left(\xi+\frac{d}{d\xi}\right)\varphi_0=0.$

Его решение

$\varphi_0=C_0 e^{-\xi^2/2}.$

Нормировочный коэффициент определяем из условия

$\|\varphi_0\|^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx|\varphi_0|^2=|C_0|^2 x_0\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\xi e^{-\xi^2}=1,$

откуда (выбирая соответствующий фазовый множитель)

$C_0=\left(x_0\sqrt{\pi}\right)^{-1/2}.$

Волновую функцию состояния с номером n>0 находим по общей формуле:

$\varphi_n=\frac{(\hat a^+)^n}{\sqrt{n!}}\varphi_0=\frac{C_0}{\sqrt{2^n n!}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^n e^{-\xi^2/2}.$

Далее воспользуемся легко проверяемым операторным тождеством:

$\xi-\frac{d}{d\xi}=-e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2/2},$

откуда

$\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^n=(-1)^n e^{\xi^2/2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2/2}.$

В результате получим волновые функции осциллятора в окончательном виде:

$\varphi_n=C_n H_n (\xi)e^{-\xi^2/2},\; C_n=\left(x_0\sqrt{\pi} 2^n n!\right)^{-1/2},\; H_n(\xi)=(-1)^n e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2}.$

Когерентные состояния гармонического осциллятора

Состояния, минимизирующие произведение неопределенностей координаты и импульса частицы, подчиняются, как показано в п. 4, уравнению

$\left(\frac{\hbar}{2\sigma^2}(\hat x-x_0)+i(\hat p_x-p_0)\right)\varphi=0.$

Для осциллятора оно может быть, очевидно, записано в виде:

$\hat a\phi_\alpha=\alpha\phi_\alpha,$

где $\alpha$ - произвольное комплексное число. Итак, минимизирующие СН состояния описываются собственными векторами оператора $\hat a.$ Комплексность собственных значений объясняется неэрмитовостью $\hat a.$
Найдем выражение для $\phi_\alpha$ в базисе из СВ гамильтониана (энергетическое представление). Имеем

$\phi_\alpha=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n\varphi_n,\; \hat a\phi_\alpha =\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n\sqrt{n} \varphi_{n-1}=\alpha\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n \varphi_n,$

откуда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов:

$c_{n+1}=\frac{\alpha}{\sqrt{n+1}}c_n,$ и $c_n=\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}c_0.$

Коэффициент c₀, полагая его действительным, находим из нормировочного условия:

$(\phi_\alpha,\phi_\alpha)=1=c_0^2 \sum\limits_{n,n'}^{} \frac{(\alpha^*)^{n'}\alpha^n}{\sqrt{n'!n!}}(\varphi_{n'},\varphi_n) =c_0^2\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(|\alpha|^2)^n}{n!},\; c_0=e^{-|\alpha|^2/2},$

где учтено условие ортонормированности $(\varphi_{n'},\varphi_n)=\delta_{n'n}.$
Итак,

$\phi_\alpha=e^{-|\alpha|^2/2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\varphi_n.$

Следовательно, вероятность обнаружить осциллятор в стационарном состоянии с энергией E_n равна

$w_n=|(\varphi_n,\phi_\alpha)|^2=\frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}.$

Мы получили известное распределение Пуассона, так что физический смысл параметра $|\alpha|^2$ таков:

$|\alpha|^2= \lt n \gt =\sum\limits_{n=0}^{\infty}nw_n.$

До сих пор мы рассматривали состояние осциллятора $\phi_\alpha$ в фиксированный момент времени t=0. Состояние $\chi_\alpha$ при t>0 получим очевидной заменой базисных векторов в разложении $\phi_\alpha=\sum c_n\varphi_n:$

$\varphi_n\to\psi_n={\rm exp}\left(-\frac{i}{\hbar}E_n t\right) \varphi_n.$

Учтя выражения для спектра, $E_n/\hbar=\omega(n+1/2),$ получим закон эволюции во времени минимизирующего состояния:

$\phi_\alpha\to\chi_\alpha = e^{-i\omega t/2} \phi_{\alpha_i},\; \alpha_i\equiv \alpha e^{-i\omega t}.$

Отсюда следует, что $\chi_\alpha$ , как и $\phi_\alpha$ , также собственный вектор оператора $\hat a$ :

$\hat a\chi_\alpha=\alpha_t \chi_\alpha.$

Вычислим среднее значение координаты осциллятора в состоянии $\chi_\alpha$ , Удобно использовать представление

$\hat x=\frac{x_0}{\sqrt{2}}(\hat a+\hat a^+).$

Тогда получим

$\lt x \gt =\frac{x_0}{\sqrt{2}}(\chi_\alpha, (\hat a+\hat a^+) \chi_\alpha)=\frac{x_0}{\sqrt{2}}(a_t+a^*_t),$

или, полагая $\alpha=|\alpha|e^{-i\theta}$ ,

$\lt x \gt =A\cos(\omega t+\theta),\; A=\sqrt{2}|\alpha|x_0.$

Таким образом, среднее значение координаты в состоянии $\chi_\alpha$ изменяется по классическому закону
Найдем явный вид $\chi_\alpha$ , решая уравнение $\hat a\phi_\alpha = \alpha\phi_\alpha$ в координатном представлении:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{d}{d\xi}\right) \phi_\alpha =\alpha\phi_\alpha,\; \phi_\alpha=C{\rm exp}\left[- \frac{1}{2}(\xi-\sqrt{2}\alpha)^2\right].$

В результате получим нормированное решение

$\chi_\alpha=e^{-i\omega t/2}\phi_{\alpha_t}= (\sqrt{\pi}x_0)^{-1/2} {\rm exp}\left[-\frac{i}{2} \omega t+\frac{1}{4}(\alpha_t-\alpha_t^*)^2 -\frac{1}{2} (\xi-\sqrt{2}\alpha_t)^2\right],$

представляющее собой нерасплывающийся волновой пакет. Впервые он был построен Шредингером в 1926 г. Координаты в состоянии $\chi_\alpha$ распределены по нормальному закону:

$\rho(x)=|\chi_\alpha|^2=\frac{1}{\sqrt{\pi}x_0}{\rm exp} \left[-\frac{1}{x_0^2}(x-A\cos(\omega t+\theta))^2\right].$

Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета не зависит от времени:

$\left \lt (x- \lt x \gt )^2\right \gt =\frac{1}{2}x_0^2.$

Как уже было показано выше, энергия в пакете распределена по закону Пуассона:

$w(E=E_n)=|(\psi_n,\chi_\alpha)|^2=w_n= \frac{ \lt n \gt ^n}{n!} e^{-\left \lt n\right \gt }.$

Независимость распределения от времени обусловлена тем, что гамильтониан осциллятора - интеграл движения. Средняя энергия может быть выражена через амплитуду колебаний около центра пакета $A=\sqrt{2}|\alpha|x_0$ :

$\lt E \gt =\hbar\omega\left( \lt n \gt +\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}(m\omega^2 A^2+\hbar\omega).$

Эта формула отличается от классической добавлением в правой части энергии основного состояния осциллятора $E_0=\hbar\omega/2$ (см. выше), которой можно пренебречь только при $\left \lt n\right \gt \gg 1$ (при этом распределение Пуассона переходит, как известно, в нормальное распределение Гаусса).
Заметим, что теоремы Эренфеста для ГО дают классические уравнения движения для средних:

$\frac{d\left \lt x\right \gt }{dt}=\frac{\left \lt p_x\right \gt }{m},\; \frac{d\left \lt p_x\right \gt }{dt}=-m\omega^2\left \lt x\right \gt ,$

откуда

$\frac{d^2\left \lt x\right \gt }{dt^2}+\omega^2\left \lt x\right \gt =0.$

Это объясняется квадратичной зависимостью потенциала ГО от координаты.
Итак, мы построили нерасплывающиеся волновые пакеты $\chi_\alpha$ , минимизирующие соотношение неопределенностей "координата - импульс". Они описывают состояния ГО, максимально близкие к классическим. Эти состояния называют когерентными состояниями, так как они используются для описания когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля (R. Glauber, 1963): можно показать, что свободное электромагнитное поле эквивалентно бесконечному набору независимых гармонических осцилляторов.

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]