Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Наблюдаемые и операторы. принцип суперпозиции

Средние значения координаты и импульса. Наблюдаемые

Зная плотность вероятности координаты частицы, можно найти среднее значение координаты - математическое ожидание:

$\lt {\bf r} \gt =\int {\bf r}|\psi|^2 d^3 x.$

Как найти среднее значение импульса <p>? Рассмотрим волновой пакет:

$\psi({\bf r})= \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}C({\bf k})e^{i{\bf kr}},\; C({\bf k})= \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\psi({\bf r})e^{-i{\bf kr}}.$

Здесь время t фиксировано и явно не указано в качестве одного из аргументов волновой функции (ВФ). Преобразуем условие нормировки ВФ:

$\int\psi^*({\bf r})\psi({\bf r})d^3 x=1=\int \frac{d^3 kd^3 k'}{(2\pi)^{3}}C^*({\bf k})C({\bf k'})\int d^3 x e^{-i{\bf kr}+i{\bf k'r}}=\int d^3 k C^*({\bf k})C({\bf k'}).$

Здесь использовано известное соотношение:

$\int d^3 x e^{i{\bf (k'-k)r}}=(2\pi)^3\delta({\bf k'-k}).$

Естественно, следуя Борну, интерпретировать |C(k)|² как плотность вероятности обнаружить при измерении импульс частицы ${\bf p}=\hbar{\bf k}$ . Фурье-образ C(k) функции $\psi({\bf r})$ называется волновой функцией в импульсном представлении. Ясно, что тогда среднее значение импульса

$\lt {\bf p} \gt =\int d^3 k \hbar {\bf k} |C({\bf k})|^2=\int d^3 k\int \frac{d^3 x'}{(2\pi)^{3/2}}\psi^*({\bf r'})e^{i{\bf kr'}}\int \frac{d^3 x}{(2\pi)^{3/2}}\psi({\bf r})i\hbar (\nabla e^{-i{\bf kr}}).$

Проинтегрировав в последнем интеграле по частям в предположении, что $\psi\! \left|_{|{\bf r}|\to \infty}\to 0\right.$ , получим с учетом

$\int d^3 k e^{i{\bf k(r'-r)}}=(2\pi)^3\delta({\bf r'-r})$

выражение для среднего импульса в координатном представлении:

$\lt {\bf p} \gt =\int d^3 x \psi^*({\bf r})(-i\hbar\nabla\psi({\bf r})).$

Итак, в пространстве волновых функций импульсу соответствует дифференциальный оператор:

${\bf p\to \hat p}=-i\hbar \nabla.$

. Координате отвечает оператор умножения:

${\bf r\to \hat r=r},\; \lt {\bf r} \gt =\int d^3 x\psi^*({\bf r}){\bf r}\psi({\bf r}).$

Заметим, что в пространстве волновых функций в импульсном представлении C(p) имеем:

${\bf \hat p=p}=\hbar{\bf k}, \; {\bf\hat r}=i\hbar\nabla_{{\bf p}}=i\hbar\frac{\partial}{\partial {\bf p}}.$

Поэтому, в частности, средняя координата

$\lt {\bf r} \gt =\int d^3 pC^*({\bf p})i\hbar\nabla_{{\bf p}}C({\bf p}).$

Полученные результаты обобщаются следующим образом: каждой физической величине A, значение которой может быть в принципе измерено, -наблюдаемой однозначно соответствует линейный оператор $\hat A$ в пространстве волновых функций.
Фундаментальный оператор Гамильтона - гамильтониан, определяющий эволюцию волновой функции, выражается через операторы координаты и импульса:

$\hat H=\frac{{\bf\hat P}^2}{2m}+U({\bf\hat r}).$

Среднее значение наблюдаемой вычисляется по правилу:

$\lt A \gt =\int\psi^*\hat A \psi d^3 x.$

В дальнейшем будем использовать обозначения из функционального анализа, предполагая, что множество волновых функций - линейное пространство. Скалярное произведение:

$(\psi,\varphi)=\int\psi^* \varphi d^3 x,\; (c\psi,\varphi)=c^* (\varphi,\psi)^* ,\; c={\rm const}.$

Норма $\|\psi\|$ вектора $\psi=0$ определена в виде

$\|\psi\|^2=(\psi,\psi)\ge 0,$

причем $\|\psi\|=0$ тогда и только тогда, когда $\psi=0$ .
Оператору $\hat A$ ставится в соответствие эрмитово сопряженный оператор $\hat A^+$ согласно определению:

$(\psi,\hat A \varphi)=(\hat A^+\psi, \varphi)$

. Пусть $\hat A$ - оператор наблюдаемой A. Ее среднее значение должно быть действительным числом. Поэтому

$\lt A \gt =(\psi,\hat A \psi)=(\hat A^+\psi,\psi)= \lt A \gt ^*=(\hat A\psi,\psi).$

Следовательно, оператор наблюдаемой должен быть эрмитовым: $\hat A^+=\hat A$ . Легко проверить, что уже введенные операторы координаты и импульса эрмитовы в пространстве квадратично интегрируемых функций.

Принцип суперпозиции

Линейность уравнения Шредингера и операторов наблюдаемых обеспечивает выполнение фундаментального принципа суперпозиции, согласно которому:

Если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями $\psi_1$ и $\psi_2,$ то она может также находиться и в состоянии

$\psi=c_1\psi_1+c_2\psi_2,$

где c₁,c₂- произвольные комплексные числа.

Функции $\psi$ и $с\psi$ , где с - произвольное комплексное число, описывают одно и то же состояние.

Для физически реализуемых состояний $\|\psi\| \lt \infty$ . Принцип суперпозиции (см. п. 2) всегда позволяет выбрать для таких состояний условие нормировки $\|\psi\|=1$ . Рассмотрим состояние $\psi=c_1\psi_1+c_2\psi_2,$ , представляющее собой суперпозицию состояний $\psi_1$ и $\psi_2$ . Для плотности вероятности, квадрата нормы и среднего значения наблюдаемой A в этом состоянии получаем соответственно выражения:

$\begin{array}{l}|\psi|^2=|c_1|^2|\psi_1|^2+|c_2|^2|\psi_2|^2+2{\rm Re}c_1^* c_2\psi_1^* \psi_2,\\ (\psi,\psi)=1=|c_1|^2+|c_2|^2+2{\rm Re}c_1^* c_2(\psi_1,\psi_2),\\ \lt A \gt =(\psi,\hat A\psi)=|c_1|^2(\psi_1,\hat A\psi_1)+|c_2|^2(\psi_2,\hat A\psi_2)+2{\rm Re}c_1^* c_2(\psi_1,\hat A\psi_2).\end{array}$

Отсюда видно, что квантовая механика не сводится к классической теории вероятности: возникает характерный эффект интерференции состояний $\psi_1$ и $\psi_2,$ не имеющий классического аналога.

Условия одновременной измеримости наблюдаемых

Как мы уже видели, предсказания квантовой теории носят вероятностный характер. Выясним, когда измерение наблюдаемой A дает определенный результат. Рассмотрим отклонение от среднего $\Delta A=A- \lt A \gt$ . Ему отвечает наблюдаемая $\hat a=\hat A - \lt A \gt \hat I$ , где $\hat I$ - единичный оператор (в дальнейшем его будем опускать). Дисперсия случайной переменной A в состоянии $\psi$ равна

$\left \lt (\Delta A)^2\right \gt =(\psi,\hat a^2\psi)=(\hat a\psi,\hat a\psi)\ge 0.$

Она обращается в нуль только при $\hat a \psi=0$ , или

$\hat A\psi= \lt A \gt \psi.$

Следовательно, в указанном состоянии наблюдаемая имеет определенное значение, которое совпадает с одним из собственных значений оператора наблюдаемой. Само состояние описывается волновой функцией, представляющей собой собственный вектор оператора.
В дальнейшем для краткости, если это не приведет к недоразумению, мы будем отождествлять понятия состояния и соответствующей ему волновой функции (используется также термин вектор состояния), наблюдаемой и оператора наблюдаемой.
Пусть наблюдаемая $\hat A$ имеет дискретный спектр:

$\hat A \psi_n=A_n\psi_n,\; n=1,2,3\ldots,$

причем система собственных функций $\{\psi_n\}$ полна и ортонормированна, т.е. образует базис в пространстве состояний:

$\psi=\sum\limits_{n}^{}c_n\psi_n,\; (\psi_{n'},\psi_n)=\delta_{n'n},\; c_n=(\psi_n,\psi).$

Здесь $\psi$ - произвольный вектор с единичной нормой. Имеем следующие соотношения:

$(\psi,\psi)=1=\sum\limits_{n}^{}|c_n|^2,\; \lt A \gt =(\psi,\hat A\psi)=\left(\sum\limits_{n}^{}c_n \psi_n , \hat A \sum\limits_{n'}^{}c_{n'}\psi_{n'}\right)=\sum\limits_{n,n'}^{}c^*_n c_n' (\psi_n,\hat A\psi_{n'})=\sum\limits_{n}^{}|c_n|^2 A_n.$

Отсюда следует, что

$w_n=|c_n|^2=|(\psi_n,\psi)|^2$

есть вероятность получить значение A_n наблюдаемой A при измерении в состоянии $\psi$ , причем значений $A\ne A_n$ на опыте обнаружить нельзя.
Если наблюдаемая $\hat A$ имеет непрерывный спектр $\lambda$ , то

$\psi=\int c_{\lambda}\psi_{\lambda}d\lambda, \; c_{\lambda}=(\psi_{\lambda},\psi).$

Тогда

$w(\lambda)=|c_{\lambda}|^2$

- плотность вероятности, т.е. $w(\lambda)d\lambda$ - вероятность обнаружить значение A в интервале $(\lambda,\lambda+d\lambda).$ При этом

$\int w(\lambda)d\lambda=(\psi,\psi)=1.$

Условие ортонормированности заменяется условием нормировки на $\delta$ -функцию:

$(\psi_{\lambda'},\psi_{\lambda})=\delta(\lambda'-\lambda).$

Пример. Собственные векторы оператора импульса $\hat{\bf p}=-i\hbar\nabla$ имеют вид

$\psi_{\bf p}({\bf r})=(2\pi\hbar)^{-3/2}{\rm exp}\left(\frac{i}{\hbar}{\bf p\cdot r}\right),\; (\psi_{\bf p'},\psi_{\bf p})=\delta({\bf p'-p}).$

Для оператора координаты ${\bf \hat r= r}$ имеем

$\psi_{\bf r_0}({\bf r})=\delta({\bf r-r_0}).$

В общем случае смешанного спектра получаем

$\psi=\sum\limits_{n}^{}c_n\psi_n+\int d\lambda c_{\lambda}\psi_{\lambda}, \; (\psi,\psi)=\sum\limits_{n}^{}|c_n|^2+\int d\lambda |c_n|^2=1.$

Условие полноты системы собственных функций имеет вид:

$\sum\limits_{n}^{}\psi_n({\bf r})\psi_n^*({\bf r'})+\int d\lambda\psi_n({\bf r})\psi_n^*({\bf r'})=\delta({\bf r-r'}).$

Рассмотрим условия, при которых две наблюдаемых A и B могут быть одновременно измерены. Пусть в некотором состоянии они имеют определенные значения. Тогда, как мы уже знаем, вектор состояния должен быть собственным для операторов $\hat A$ и $\hat B$ :

$\hat A\psi_{nm}=A_n\psi_{nm},\; \hat B\psi_{nm}=B_n\psi_{nm}.$

Предположим, что $\{\psi_{nm}\}$ образуют полную систему собственных векторов. Тогда для произвольного вектора состояния

$\psi=\sum\limits_{nm}^{}c_{nm}\psi_{nm}$

имеем

$(\hat A\hat B-\hat B\hat A)\psi=\sum\limits_{nm}^{}(A_n B_m- B_m A_n)\psi_{nm}=0.$

Ввиду произвольности $\psi$ получаем операторное равенство

$[\hat A,\hat B]\equiv \hat A\hat B-\hat B\hat A=0,$

т.е. наблюдаемые должны коммутировать.
Это утверждение обобщается на случай произвольного (смешанного) спектра и представляет собой известную теорему из функционального анализа: если два оператора имеют общий полную систему собственных векторов, то они коммутируют. Справедлива и обратная теорема: если $[\hat A,\hat B]=0,$ то операторы $\hat A$ и $\hat B$ и имеют общую систему собственных функций.
Определим полный набор коммутирующих наблюдаемых $\hat A_1,\ldots,\hat A_n$ :

операторы $\hat A_i$ попарно коммутируют, $[\hat A_i,\hat A_j]=0;\; i,j=\overline{1,n};$

ни один из операторов $\hat A_i$ не является функцией от остальных;

любой оператор, коммутирующий со всеми $\hat A_i$ , есть функция от этих операторов.

Из изложенного выше следует,что существует общая полная система собственных векторов полного набора наблюдаемых:

$\hat A_i \psi_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}=\lambda_i \psi_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}, \; i=\overline{1,n}.$

Поэтому произвольный вектор состояния может быть представлен в виде

$\psi=\sum\limits_{{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}}^{}c_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}\psi_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n},$

причем $|c_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}|^2$ есть вероятность получить в результате одновременного измерения наблюдаемых $A_1,\ldots,A_n$ значения ${\lambda_1,\ldots,\lambda_n}$ .
Таким образом, состояние системы в квантовой механике можно задать полным набором значений наблюдаемых. Их число называется числом степеней свободы системы. В общем случае оно определяется из опыта. В частных случаях это число совпадает с числом степеней свободы соответствующей классической системы.
Полный набор наблюдаемых может быть задан многими способами. Его фиксация определяет некоторое представление пространства состояний квантовой системы функциями

$\psi({\lambda_1,\ldots,\lambda_n})\equiv c_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}=(\psi_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}, \psi),$

определенными на спектре операторов $A_1,\ldots,A_n$ . Функция $\psi({\lambda_1,\ldots,\lambda_n})$ называется волновой функцией системы в данном представлении.
Пример. Для точечной (бесструктурной) частицы полный набор наблюдаемых образуют операторы координат $\hat x,\hat y, \hat z.$ Ему отвечает координатное представление волновых функций:

$\psi(x,y,z)=\int\psi(x_0,y_0,z_0)\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)dx_0 dy_0 dz_0.$

Другой полный набор составляют операторы компонент импульса $\hat p_{x},\hat p_{y},\hat p_{z}:$

$\psi(x,y,z)=\int\psi(p_x,p_y,p_z){\rm exp}\left[\frac{i}{\hbar}(p_x x +p_y y+p_z z)\right]\frac{dp_x dp_y dp_z}{(2\pi\hbar)^{3/2}},$

, где $\psi(p_x,p_y,p_z)$ - волновая функция в импульсном представлении (выше она обозначалась C(p)).

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]