Аномалии в квантовой теории поля (от греч. anomalia - отклонение, неправильность) - свойство квантовой теории поля (КТП), состоящее
в том, что некоторые законы сохранения, справедливые в классической теории, перестают выполняться при правильном учете квантовых эффектов.
Происхождение аномалий связано с ультрафиолетовыми расходимостями КТП, нуждающимися в регуляризации (см. Регуляризация расходимостей),
Конкретный выбор процедуры регуляризации в КТП, как правило, неоднозначен. При этом в некоторых случаях регуляризацию невозможно провести так, чтобы удовлетворить
одновременно
всем требованиям симметрии исходной классической теории поля. В результате некоторые симметрии оказываются нарушенными. Например, в квантовой
электродинамике (КЭД) выполняется закон сохранения векторного тока:
(см. Векторного тока сохранение), где 4-вектор тока
- поле Дирака
электрона (
- пространственно-временная точка),
- матрицы Дирака,
,
значок + означает эрмитово сопряжение (по повторяющемуся индексу
производится суммирование). Наряду с векторным током
в
КЭД
можно также рассмотреть аксиальный ток
, где
.
В силу уравнения Дирака уравнения дивергенция аксиального тока
где
- масса электрона (используется система единиц,
в которой
).
Из этого уравнения следует, что в пределе нулевой массы электрона аксиальный ток сохраняется (см. Аксиального тока частичное сохранение),
что является
отражением киральной симметрии теории. Однако более аккуратное рассмотрение показывает, что этот вывод неверен. Действительно, в определении аксиального
тока
стоит произведение антикоммутирующих операторов
и
, взятых в одной точке
. Такое произведение нуждается в доопределении
(регуляризации). Если ее провести так, чтобы не нарушить закон сохранения векторного тока, то оказывается, что правильное выражение для дивергенции
аксиального тока принимает
вид
, | (1) |
где
e -
заряд электрона (
![$e^2\approx$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/09/01/0001169581/tex/formula14.gif)
1/137),
![$F_{\alpha\beta}$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/09/01/0001169581/tex/formula15.gif)
, -
тензор напряженности
электромагнитного поля,
![$\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/09/01/0001169581/tex/formula16.gif)
-
абсолютно антисимметричный тензор,
![$\varepsilon^{0123}$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/09/01/0001169581/tex/formula17.gif)
= 1. Т. о., аксиальный ток не сохраняется даже в пределе безмассового электрона. Это явление называется
аксиальной аномалией. Оно было обнаружено
Ю. Швингером (J. Schwinger) в 1951 и детально проанализировано
С. Адлером (S. Adler) в 1969 году.
Аналогичная аксиальная аномалия возникает в любой калибровочной теории поля и, в частности, в квантовой хромодинамике (КХД),
где дивергенция аксиального тока кварков имеет вид, аналогичный (1) с напряженностью глюонного поля
(a = 1,2,3,...,8 - цветовой индекс) и безразмерной константой связи сильного взаимодействия (цветовым
зарядом) g
вместо напряженности электромагнитного поля и электрического заряда.
Другой важный пример - дилатационная аномалия (от англ. dilatation - растяжение, расширение). Любая КТП, в лагранжиане которой
нет размерных констант, обладает масштабной инвариантностью, т. е. инвариантностью относительно растяжения
координат
с одновременным
умножением операторов полей на множитель
в степени, равной размерности поля. Согласно теореме Нетер, такой
инвариантности в классической теории поля отвечает сохраняющийся дилатационный ток
, где
- симметричный тензор энергии-импульса теории. Действительно, в силу уравнений движения тензор энергии-импульса сохраняется
(
), так что дивергенция дилатационного тока равна следу тензора энергии-импульса,
, причем последняя величина равна нулю. Однако квантовая теория с безразмерной константой связи содержит логарифмические УФ-расходимости,
которые необходимо регуляризовать и перенормировать. В результате конечные регуляризованные выражения оказываются зависящими от некоторой размерной величины - импульса
нормировки, или параметра шкалы, и масштабная инвариантность нарушается. Т. о., с учетом квантовых эффектов
. Например, в КХД (в пределе нулевой массы кварков) след тензора энергии-импульса пропорционален квадрату напряженности
глюонного поля.
Известны также аномалии суперконформного тока в суперсимметрии, конформная аномалия в конформной
теории гравитации и квантовой теории струны и др.
В современной КТП и теории элементарных частиц аномалии играют важную роль. В частности, аксиальная аномалия типа (1) позволяет вычислить вероятность
распада
-мезона на два фотона, поскольку, согласно алгебре токов, поле совпадает с дивергенцией
аксиального тока кварков. Т. к., согласно (1), амплитуда процесса пропорциональна сумме квадратов зарядов кварков,
составляющих
-мезон,
то из сравнения теоретически вычисленного времени жизни
с его экспериментальным значением можно определить заряды кварков. Исторически это сопоставление
было одним из аргументов в пользу введения дополнительного квантового числа, характеризующего кварки, - цвета.
Другой пример - аксиальная аномалия в электрослабом взаимодействии. В отличие от КЭД, в этой теории аксиальный ток непосредственно входит в лагранжиан
взаимодействия и т. о. взаимодействует с калибровочным полем. Поэтому наличие аномалии ведет к внутренней противоречивости теории, например к отсутствию перенормируемости.
Между тем в стандартной теории электрослабого взаимодействия лептоны и кварки внутри одного поколения фермионов
вносят в аномалию вклады, равные по величине, но противоположные по знаку. Необходимость внутренней согласованности теории (т. е. ее перенормируемости) требует сокращения
аномалии. Отсюда вытекает, что должно быть одинаковое число дублетов кварков и лептонов. В настоящее время
действительно обнаружено по три дублета лептонов и кварков (хотя
существование 6-го кварка, t, установлено еще недостаточно надежно (данные на 1988 год - прим. ред.)). Необходимость существования с-кварка, а позднее t-кварка, вытекающая из требования сокращения аномалии, была осознана до экспериментального обнаружения этих частиц.
Аналогичные ограничения возникают и для моделей великого объединения взаимодействий.
В КХД существует проблема нонета псевдоскалярных мезонов. Из них восемь (пионы
, ка-мезоны
) находят объяснение как псевдоголдстоуновские бозоны (см. Голдстоуна теорема), связанные со спонтанным
нарушением почти точной киральной симметрии исходного лагранжиана КХД. Девятый псевдоскалярный мезон
гораздо тяжелее остальных восьми и не укладывается
в эту схему. Трудность разрешается тем, что аксиальный ток, имеющий квантовые числа
-мезона, не сохраняется даже в пределе безмассовых кварков из-за
аксиальной аномалии. Большая масса
-мезона является указанием на то, что в вакууме КХД существенны такие флуктуации глюонного
поля
, для которых величина
, | (2) |
называемая
топологическим зарядом, отлична от нуля. Эти флуктуации не учитываются обычной
теорией возмущений, для которой величина
![$Q_t=0$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/09/01/0001169581/tex/formula31.gif)
. Т. о., в вакууме КХД существенную роль должны играть флуктуации нового типа, например
инстантоны.