Научная Сеть >> Аномалии в квантовой теории поля

Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Справочники >> Физическая энциклопедия | Словарные статьи

См. также

М.Пескин, Д.Шредер, "Введение в квантовую теорию поля", М. И. "РХД", 2001 г.

Аномалии в квантовой теории поля
1.09.2001 18:42 | Phys.Web.Ru

Аномалии в квантовой теории поля (от греч. anomalia - отклонение, неправильность) - свойство квантовой теории поля (КТП), состоящее в том, что некоторые законы сохранения, справедливые в классической теории, перестают выполняться при правильном учете квантовых эффектов.

Происхождение аномалий связано с ультрафиолетовыми расходимостями КТП, нуждающимися в регуляризации (см. Регуляризация расходимостей), Конкретный выбор процедуры регуляризации в КТП, как правило, неоднозначен. При этом в некоторых случаях регуляризацию невозможно провести так, чтобы удовлетворить одновременно всем требованиям симметрии исходной классической теории поля. В результате некоторые симметрии оказываются нарушенными. Например, в квантовой электродинамике (КЭД) выполняется закон сохранения векторного тока: ${\displaystyle\partial j_\mu\over\displaystyle\partial x_\mu}=0$ (см. Векторного тока сохранение), где 4-вектор тока $j_\mu(x)=\overline{\psi}(x)\gamma_\mu\psi(x), \psi(x)$ - поле Дирака электрона ( $х$ - пространственно-временная точка), $\gamma_\mu$ - матрицы Дирака, $\mu=0,1,2,3,\ \overline\psi=\psi^+\gamma_0$ , значок ⁺ означает эрмитово сопряжение (по повторяющемуся индексу $\mu$ производится суммирование). Наряду с векторным током в КЭД можно также рассмотреть аксиальный ток $j_{\mu5}(x)\overline\psi(x)\gamma_\mu\gamma_5\psi(x)$ , где $\gamma_5=i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3$ . В силу уравнения Дирака уравнения дивергенция аксиального тока ${\displaystyle\partial j_{\mu5}\over\displaystyle\partial x_\mu}=2im_e\overline\psi\gamma_5\psi$ где $m_e$ - масса электрона (используется система единиц, в которой $\hbar=c=1$ ). Из этого уравнения следует, что в пределе нулевой массы электрона аксиальный ток сохраняется (см. Аксиального тока частичное сохранение), что является отражением киральной симметрии теории. Однако более аккуратное рассмотрение показывает, что этот вывод неверен. Действительно, в определении аксиального тока стоит произведение антикоммутирующих операторов $\overline\psi$ и $\psi$ , взятых в одной точке $х$ . Такое произведение нуждается в доопределении (регуляризации). Если ее провести так, чтобы не нарушить закон сохранения векторного тока, то оказывается, что правильное выражение для дивергенции аксиального тока принимает вид
${\displaystyle\partial\over\displaystyle\partial x_\mu}j_{\mu5}(x)=2im_e\overline\psi(x)\gamma_5\psi(x)+{\displaystyle e^2\over\displaystyle16\pi^2}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}$ , (1)

где e - заряд электрона ( $e^2\approx$ 1/137), $F_{\alpha\beta}$ , - тензор напряженности электромагнитного поля, $\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ - абсолютно антисимметричный тензор, $\varepsilon^{0123}$ = 1. Т. о., аксиальный ток не сохраняется даже в пределе безмассового электрона. Это явление называется аксиальной аномалией. Оно было обнаружено Ю. Швингером (J. Schwinger) в 1951 и детально проанализировано С. Адлером (S. Adler) в 1969 году.

Аналогичная аксиальная аномалия возникает в любой калибровочной теории поля и, в частности, в квантовой хромодинамике (КХД), где дивергенция аксиального тока кварков имеет вид, аналогичный (1) с напряженностью глюонного поля $G_{\mu\nu}^a (х)$ (a = 1,2,3,...,8 - цветовой индекс) и безразмерной константой связи сильного взаимодействия (цветовым зарядом) g вместо напряженности электромагнитного поля и электрического заряда.

Другой важный пример - дилатационная аномалия (от англ. dilatation - растяжение, расширение). Любая КТП, в лагранжиане которой нет размерных констант, обладает масштабной инвариантностью, т. е. инвариантностью относительно растяжения координат $x_\mu\longrightarrow\lambda x_m$ с одновременным умножением операторов полей на множитель $\lambda$ в степени, равной размерности поля. Согласно теореме Нетер, такой инвариантности в классической теории поля отвечает сохраняющийся дилатационный ток $D_\mu(x)=x^\nu\Theta_{\mu\nu}(x)$ , где $\Theta_{\mu\nu}(x)$ - симметричный тензор энергии-импульса теории. Действительно, в силу уравнений движения тензор энергии-импульса сохраняется ( ${\displaystyle\partial\Theta_{\mu\nu}\over\displaystyle\partial x_\mu}$ ), так что дивергенция дилатационного тока равна следу тензора энергии-импульса, ${\displaystyle\partial D_\mu\over\displaystyle\partial x_\mu}$ , причем последняя величина равна нулю. Однако квантовая теория с безразмерной константой связи содержит логарифмические УФ-расходимости, которые необходимо регуляризовать и перенормировать. В результате конечные регуляризованные выражения оказываются зависящими от некоторой размерной величины - импульса нормировки, или параметра шкалы, и масштабная инвариантность нарушается. Т. о., с учетом квантовых эффектов ${\displaystyle\partial D_\mu\over\displaystyle\partial x_\mu}$ . Например, в КХД (в пределе нулевой массы кварков) след тензора энергии-импульса пропорционален квадрату напряженности глюонного поля.

Известны также аномалии суперконформного тока в суперсимметрии, конформная аномалия в конформной теории гравитации и квантовой теории струны и др.

В современной КТП и теории элементарных частиц аномалии играют важную роль. В частности, аксиальная аномалия типа (1) позволяет вычислить вероятность распада $\pi^0$ -мезона на два фотона, поскольку, согласно алгебре токов, поле совпадает с дивергенцией аксиального тока кварков. Т. к., согласно (1), амплитуда процесса пропорциональна сумме квадратов зарядов кварков, составляющих $\pi^0$ -мезон, то из сравнения теоретически вычисленного времени жизни $\pi^0$ с его экспериментальным значением можно определить заряды кварков. Исторически это сопоставление было одним из аргументов в пользу введения дополнительного квантового числа, характеризующего кварки, - цвета.

Другой пример - аксиальная аномалия в электрослабом взаимодействии. В отличие от КЭД, в этой теории аксиальный ток непосредственно входит в лагранжиан взаимодействия и т. о. взаимодействует с калибровочным полем. Поэтому наличие аномалии ведет к внутренней противоречивости теории, например к отсутствию перенормируемости. Между тем в стандартной теории электрослабого взаимодействия лептоны и кварки внутри одного поколения фермионов вносят в аномалию вклады, равные по величине, но противоположные по знаку. Необходимость внутренней согласованности теории (т. е. ее перенормируемости) требует сокращения аномалии. Отсюда вытекает, что должно быть одинаковое число дублетов кварков и лептонов. В настоящее время действительно обнаружено по три дублета лептонов и кварков (хотя существование 6-го кварка, t, установлено еще недостаточно надежно (данные на 1988 год - прим. ред.)). Необходимость существования с-кварка, а позднее t-кварка, вытекающая из требования сокращения аномалии, была осознана до экспериментального обнаружения этих частиц. Аналогичные ограничения возникают и для моделей великого объединения взаимодействий.

В КХД существует проблема нонета псевдоскалярных мезонов. Из них восемь (пионы $\pi^{\pm}, \pi^0$ , ка-мезоны $К^{\pm}, К^0, \tilde К^0, \eta$ ) находят объяснение как псевдоголдстоуновские бозоны (см. Голдстоуна теорема), связанные со спонтанным нарушением почти точной киральной симметрии исходного лагранжиана КХД. Девятый псевдоскалярный мезон $\eta^\prime$ гораздо тяжелее остальных восьми и не укладывается в эту схему. Трудность разрешается тем, что аксиальный ток, имеющий квантовые числа $\eta^\prime$ -мезона, не сохраняется даже в пределе безмассовых кварков из-за аксиальной аномалии. Большая масса $\eta^\prime$ -мезона является указанием на то, что в вакууме КХД существенны такие флуктуации глюонного поля $G_{\mu\nu}^a$ , для которых величина
$Q_t = {\displaystyle g^2\over\displaystyle 64\pi^2}\int\varepsilon^{\mu\nu\sigma\rho}G_{\mu\nu}^a(t,\vec x)G_{\sigma\rho}^a(t,\vec x)dtd\vec x$ , (2)

называемая топологическим зарядом, отлична от нуля. Эти флуктуации не учитываются обычной теорией возмущений, для которой величина $Q_t=0$ . Т. о., в вакууме КХД существенную роль должны играть флуктуации нового типа, например инстантоны.

Написать комментарий