Научная Сеть >> Аномальная размерность

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Теория поля | Словарные статьи

Аномальная размерность
1.09.2001 19:16 | Phys.Web.Ru

Аномальная размерность - число, равное отклонению степени однородности взаимодействующего перенормированного квантового поля при масштабных преобразованиях 4-координат $x_\mu\longrightarrow\lambda^{-1}x_\mu$ или 4-импульсов $p_\mu\longrightarrow\lambda p_\mu$ , $\mu$ = 0, 1, 2, 3 (где $\lambda$ ,- некоторая постоянная величина) от обычной, канонической, размерности свободного поля (в системе $\hbar=c=1$ ). Каноническая размерность поля определяется его одновременными перестановочными соотношениями и в импульсных единицах равна 1 для скалярного поля и 3/2 для поля Дирака. Если для взаимодействующего поля $\varphi(p)$ справедливо соотношение $\varphi(\lambda p)=\lambda^d\varphi(p)$ (где число d характеризует степень однородности поля $\varphi$ ), то аномальная размерность для скалярного поля $\gamma$ =d-1, а для поля Дирака $\gamma$ =d-³/₂.

Аномальная размерность имеет динамическую природу - зависит от величины и характера действующих сил. Это можно проиллюстрировать на примере поведения волновой функции частицы на малых расстояниях (r) от центра сил в квантовой механике. Если потенциал $V (r)$ в уравнении Шредингера растет при $r\longrightarrow0$ как $gr^2$ (где g - некоторая постоянная), что соответствует масштабной инвариантности на малых расстояниях, то волновая функция частицы в состоянии с орбитальным квантовым числом l ведет себя как $\psi_l(r)\sim r^{l+\gamma}$ , где аномальная размерность $\gamma=\sqrt{(l+1/2)^2+2mg-1/2-l}$ , т. е. существенно отличается от поведения волновой функции свободной частицы $\psi_l(r)\sim r^l$ (m - масса частицы).

Квантовая теория поля обладает масштабной инвариантностью, если уравнение движения поля $\varphi$ не содержит размерных параметров (типа массы), а константа связи g принимает критическое значение g₀, при котором бета-функция в уравнении ренормализационной группы обращается в нуль. В конформно-инвариантной теории поля (см. Конформная инвариантность в квантовой теории поля), характеризующейся исчезновением следа тензора энергии-импульса при g = g₀, аномальная размерность является сохраняющейся величиной, зависящей от константы g₀.

Из уравнений ренормализационной группы следует, что поведение n-частичной функции Грина $\Gamma(p_1,p_2,...,p_n)$ при изменении масштаба импульсов в области, где все скалярные произведения $(p_ip_j) (i,j=1,2,...,n)$ одного порядка (~ $р^2$ ) и много больше квадратов масс частиц, эквивалентно (с точностью до изменения константы взаимодействия) поведению при изменении нормировочного импульса $\varkappa$ . Если в пределе $р^2 \longrightarrow\infty$ инвариантный заряд $\tilde{g}\longrightarrow g_0$ , то
$\displaystyle\Gamma(p^2,g)\longrightarrow\lgroup{\displaystyle p^2\over\displaystyle\varkappa^2}\rgroup^{\displaystyle\gamma(g_0)}\Gamma(\varkappa^2, g_0)$ , (1)

а показатель степени $\gamma$ выражается через аномальные размерности операторов всех полей, образующих данную функцию Грина. Понятие аномальной размерности в обобщенном смысле широко используется также в квантовой хромодинамике (КХД), несмотря на то, что эта теория не имеет фиксированной критической точки g₀, а обладает свойством асимптотической свободы. Аномальная размерность приближенно имеет смысл, если можно пренеоречь массами частиц по сравнению с характерными масштабами внешних импульсов, входящих в задачу. В такой области будет осуществляться приближенная масштабная инвариантность. Так, амплитуды M в КХД, определенные на масштабах $\varkappa_0^2$ , преобразуются при изменении масштаба $\varkappa_0^2\longrightarrow\varkappa^2$ в соответствии с требованиями ренормализационной группы:
$\displaystyle M(\varkappa^2)=M(\varkappa_0^2)e^{\displaystyle\int\limits_{\varkappa_0^2}^{\varkappa^2}\tilde\gamma(\varkappa^{\prime2}){\displaystyle d\varkappa^{\prime2}\over\displaystyle \varkappa^{\prime2}}}$ . (2)

Зависимость $\tilde\gamma$ от $\varkappa^2$ определяется инвариантным зарядом теории, и если он меняется медленно, то $\tilde\gamma$ тоже меняется медленно. В частности, при постоянном $\tilde\gamma$ формула (2) переходит в формулу (1). Поэтому в обобщенном смысле $\tilde\gamma$ может быть названа аномальной размерностью. Так же, как в формуле (1), эта величина выражается через аномальные размерности всех операторов, входящих в амплитуду M.

В КХД принято и несколько иное определение аномальной размерности. Поскольку $\tilde\gamma$ обращается в нуль при отсутствии взаимодействия, то удобно определить
$\gamma=\lim\limits_{\displaystyle\alpha_s\to0}{\displaystyle 4\pi\tilde\gamma(\alpha_s)\over\displaystyle\alpha_s}$ , (3)

где $\alpha_s(\varkappa^2)$ - эффективный заряд КХД, а величина $\tilde\gamma$ в первом приближении уже не зависит от импульсов. Выражение (2) при этом приобретает вид
$\displaystyle M(\varkappa^2)=M(\varkappa_0^2)\lgroup{\displaystyle\alpha_s(\varkappa_0^2)\over\displaystyle\alpha_s(\varkappa^2)}\rgroup^{\gamma/b}$ , (4)

где b=11-²/₃N_f, a N_f - число типов (ароматов) кварков.

Аномальная размерность может проявиться при изучении функций Грина квантовой теории поля в глубоко евклидовой области, т. е. при больших пространственноподобных импульсах. Примером физического процесса, при котором наблюдалась приближенная масштабная инвариантность, может служить глубоко неупругий процесс рассеяния электрона на протоне. В этом случае моменты структурной функции протона изменяются в зависимости от квадрата переданного 4-импульса согласно формуле (4).

Существует, однако, ряд величин, которые не могут приобретать аномальных размерностей. Таковы все сохраняющиеся величины и их локальные токи, дивергенция которых равна нулю (например, 4-вектор электромагнитного тока или тензор энергии-импульса).

Понятие аномальной размерности широко используется также в статистической физике (в теории конденсированных сред) для описания поведения характеристик системы (плотности, теплоемкости, магнитной восприимчивости и др.) вблизи температуры фазового перехода $T=T_c$ , когда длина корреляций $\xi\sim(T-T_c)^{-\nu}$ становится значительно больше атомных размеров и является единственным существенным параметром длины. Изучение аномальной размерности различных характеристик позволяет судить о степени их зависимости от $(T-T_c)$ , т. е. о критических индексах.

Написать комментарий