Научная Сеть >> Аналитическая теория дифференциальных уравнений

Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Словарные статьи

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

"О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов: systfirst

"О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов: fg

Механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

О.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Заседание Московского Математического Общества состоится 20 февраля 2001 г.

Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова: ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Н.Бейли. Математика в биологии и медицине: 3.4. МНОГООБРАЗИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ.

Н.Бейли. Математика в биологии и медицине: исследование повторяющихся эпидемий вероятностными методами

Динамические системы: динамическая система

3 декабря: (1)

Колебания и волны: Маятник на вращающемся валу (маятник Фруда).

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Автомодельное течение

Введение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Радиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

Аналитическая теория дифференциальных уравнений
23.08.2001 18:42 | А.П.Крашенинников, Phys.Web.Ru

Аналитическая теория дифференциальных уравнений - раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором решения исследуют методами теории аналитических функций. Поскольку написать решение в явном виде удается лишь для некоторых дифференциальных уравнений, возникла задача исследования различных свойств решений по виду уравнения. В результате появились два направления в исследовании дифференциальных уравнений: аналитическая теория дифференциальных уравнений и теория динамических систем. В аналитической теории дифференциальных уравнений исследуют поведение решений на всей комплексной плоскости, расположение особых точек, поведение решений в их окрестности и т. д. В частности, методами аналитической теории дифференциальных уравнений изучают свойства специальных функций математической физики. Аналитическая теория дифференциальных уравнений существенна для задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, задач гидро- и аэродинамики, теории солитонов и др. Методы и результаты аналитической теории дифференциальных уравнений различны для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.

Линейная теория. Рассмотрим систему из n уравнений
$w' = A(z)w+f(z)$ , (1)

где $w(z) = (w_1(z), ..., w_n(z)), f(z) = (f_1 (z), ...,f_n(z)), A (z)$ - матрица-функция порядка $n\times n$ с элементами $a_{ik}(z)$ , и скалярное уравнение порядка n
$w^{(n)} + а_1 (z) w^{(n-1)} + ... a_n (z) w = f (z)$ . (2)

Аналитичность решений. Пусть D - область в комплексной плоскости z, все элементы $a_{ik}(z)$ и функции $f_i(z)$ аналитичны в D. Если область D односвязна, то все решения системы (1) являются однозначными аналитическими в D вектор-функциями, в неодносвязной области решения являются, как правило, многозначными. То же справедливо для уравнения (2).

Особые точки (ОТ) и их классификация. Рассмотрим однородные уравнения, соответствующие (1) и (2):
$w^\prime(z) = A(z)w$ , (3)

$w^{(n)}+a_(z)w^{(n-1)}+...+a_n(z)w=0$ . (4)

Точка z₀ называется ОТ системы (3) или уравнения (4), если она является ОТ для одного из элементов $а_{ik}(z)$ (коэффициенты а_i(z)). Пусть z₀ - полюс, тогда система (3) имеет фундаментальную матрицу $W (z)$ вида $W (z) = Ф(s)(z- z_0) Р$ , где Р - постоянная матрица, матрица-функция $Ф (z)$ разлагается в ряд Лорана $Ф(z)=\sum\limits_{-\infty}^\infty \varphi_k(z-z_0)^k$ , сходящийся в некотором кольце вида $0 \lt | z - z_0 | \lt R$ . ОТ z₀ называется регулярной, если ряд Лорана для $Ф (z)$ содержит конечное число отрицательных степеней $z-z_0$ , и иррегулярной в противном случае. Это косвенная классификация: она дается в терминах свойств решений, а не коэффициентов системы. Аналогично классифицируются ОТ уравнения (4). Бесконечно удаленная точка $z=\infty$ называется ОТ системы (3), если точка $t = 0$ - особая для системы $w_t^\prime=-t^{-2}A(t^{-1})w$ , полученной из (3) заменой переменного $z={\displaystyle 1\over\displaystyle t}$ ; аналогично для уравнения (4). Регулярные особые точки - наиболее простой и хорошо изученный тип ОТ. Точка z₀ является регулярной ОТ уравнения (4) тогда и только тогда, когда
$a_i(z)=(z-z_0)^{-i}p_i(z)$ ,
где функции $р_i (z)$ аналитичны в точке z₀. Точка $z=\infty$ является регулярной ОТ уравнения (4) тогда и только тогда, когда $a_i (z) = z^{-i}q_i(z)$ , где функции $q_i(z)$ аналитичны в точке $z=\infty$ . Определяющее уравнение в регулярной ОТ z₀ имеет вид
$\rho (\rho -1).. .(\rho -n + 1) +p_1(z_0) \rho (\rho - 1)...(\rho -n+2)+...+p_n (z_0) = 0$ ,
его корни называются характеристическими показателями в точке z₀. Если ни одна из разностей $\rho_i-\rho_k,\ i\neq k$ , не есть целое число, то уравнение (4) имеет следующую фундаментальную систему решений:
$\displaystyle w_i (z) = (z - z_0)^{\displaystyle\rho_i }\varphi_i(z), \varphi_i(z_0) = 1, 1\leq i\leq n$ ,
где функции $\varphi_i (z)$ аналитичны в точке z₀. Если среди этих разностей есть целые числа, то решения могут содержать целые степени логарифма ln(z-z₀). Уравнение 2-го порядка с регулярной ОТ z₀ имеет вид
$w^{\prime\prime}+(z-z_0)^{-1}p_1(z)w^\prime+(z-z_0)^{-2}p_2(z)w = 0$ , (5)

где функции $p_1 (z)$ , $р_2 (z)$ аналитичны в точке z₀, определяющее уравнение таково:
$\rho(\rho-1)+\rho p_1(z_0)+p_2(z_0)=0$ .
Если $\rho_1 - \rho_2$ - нецелое число, где $\rho_i$ - характеристические показатели, то уравнение (5) имеет фундаментальую систему решений $\displaystyle w_i(z) = (z - z_0)^{\displaystyle \rho_i}\varphi_i(z)$ , где функции $\varphi_i(z)$ аналитичны в точке z₀, $\varphi_i(z_0)$ = 1. Если $\rho_1 - \rho_2$ есть целое неотрицательное число, то уравнение (5) имеет фундаментальную систему решений
$\displaystyle w_1(z) = (z - z_0)^{\displaystyle \rho_1}\varphi_1(z), \displaystyle w_2(z) = (z - z_0)^{\displaystyle \rho_2}\varphi_2(z)+\theta w_1(z)\ln{(z-z_0)}$ ,
где $\theta$ - постоянная, функции $\varphi_i(z)$ аналитичны в точке z₀, $\varphi_i(z_0)$ = 1.

Примеры: уравнение Эйри: $w^{\prime\prime} - zw =0, z=\infty$ - иррегулярная ОТ; уравнение Бесселя: $z^2w^{\prime\prime}+zw^{\prime}+(z^2- \gamma^2) w=0, z=0$ - регулярная, $z=\infty$ - иррегулярная ОТ; гипергеометрическое уравнение: $z (1 -z) w^{\prime\prime} + [\gamma - (\alpha+\beta+1)z]w^{\prime} -\alpha\beta w =0$ имеет регулярные ОТ: 0, 1, $\infty$ .

Уравнением класса Фукса называется уравнение (4), все ОТ которого на римановой сфере являются регулярными. Известен общий вид таких уравнений. Все основные дифференциальные уравнения 2-го порядка, возникающие в задачах математической физики, можно получить из уравнения с пятью регулярными независимыми ОТ; при этом разности характеристических показателей в каждой ОТ равны 1/2.

Точка z₀ является регулярной ОТ системы (3), если $A (z) = (z - z_0)^{-1}B(z)$ , где матрица-функция $B (z)$ аналитична в точке z₀, $B (z_0)\neq 0$ . Если все разности $\rho_i-\rho_k,\ i\neq k$ , где $\rho_i$ - собственные значения матрицы $B(z_0)$ , не являются целыми числами, то система (3) имеет фундаментальную матрицу вида $W(z) = Ф(z)(z - z_0)P$ , где Р - диагональная матрица с элементами $\rho_1,\rho_2,...,\rho_n$ , матрица-функция $Ф (z)$ аналитична в точке z₀ и невырождена. Если среди этих разностей есть целые числа, то фундам. матрица содержит целые степени ln ( $z - z_n$ ). Неизвестны необходимые и достаточные условия того, что z₀ - регулярная ОТ системы (3). Система $w^{\prime}=w\sum\limits_{k=0}^m A_k(z-a_k)^{-1}$ , где $a_k$ - различные комплексные числа, $A_k$ - постоянные ненулевые матрицы порядка $n\times n$ и $A_1+ ... + А_m= 0$ , является системой класса Фукса и имеет регулярные ОТ $a_i, a_2, ..., a_m, \infty$ .

Иррегулярные особые точки. Пусть в системе (3)
$A(z)=z^r\sum\limits_{k=0}^\infty A_k z^{-k}, A_0\neq 0$
где $r\geq 0$ - целое, ряд сходится при $|z|\gt R$ , тогда $z=\infty$ есть иррегулярная ОТ, и система имеет фундаментальную матрицу вида $W (z) = S (z) e^{\displaystyle Q(z)}$ , где $Q (z)$ - диагональная матрица, элементы которой являются многочленами от $z^{l/n}, n \gt 0$ - целое: $q_{ii}(z) = q_{i0}z^{\displaystyle l_i/n}+q_{i1}z^{\displaystyle (l_i-1)/n}+...+q_{i,\ l_i-1}z^{\displaystyle 1/n}$ . Элементы $s_{ik}$ матрицы S имеют вид
$s_ik(z)=z^{\displaystyle r_{ik}}\sum\limits_{m=0}^{m_{ik}}\sigma_{ikm}(z)\ln{}^m z$ ,
$\sigma_{ikm}(z)=\sum\limits_{l=0}^{\infty}\sigma_{ikml}z^{-l/n}$
Эти ряды сходятся лишь в исключительных случаях и являются асимптотическими разложениями некоторой фундаментальной матрицы в некоторых секторах комплексной плоскости z при $|z|\to\infty$ . Асимптотика фундаментальной системы решений уравнения 2-го порядка
$w^{\prime\prime}-z^r(a_0+a_1z^{-1}+...)w=0$
дается ВКБ-формулой
$w_{1,2}\sim z^{r/4}e^{\displaystyle\pm\int\limits_{\displaystyle z_0}^{\displaystyle z} t^{r/2}\sqrt{a_0+a_1t^{-1}+...0}dt}$
(см. Квазиклассическое приближение) при $|z| \to\infty$ , z лежит в секторе $\alpha\lt$ arg $z\lt\beta$ , $\beta-\alpha\lt {\displaystyle 2\pi\over\displaystyle r+2}$ .

Нелинейная теория. Рассмотрим систему из n уравнений и задачу Коши
$w^\prime=f(z,w), w(z_0)=w_0$ . (6)

Теорема Коши. Пусть вектор-функция $f(z,w)$ аналитична в окрестности точки $z = z_0, w=w_0$ , тогда существует, и притом только одно, решение задачи (6), аналитичное в окрестности точки z₀.

Если аналитически продолжить это решение, то оно будет иметь ОТ. Одно из основных различий между линейными и нелинейными уравнениями состоит в том, что решения линейного уравнения имеют только неподвижные ОТ (они совпадают с ОТ коэффициентов и правой части), решения нелинейного уравнения могут иметь иные (подвижные) ОТ. Пример: уравнение $w^\prime = w^2$ , решение $w = -(z - С)^{-1}$ имеет полюс в точке z = C, С любое. Классификация ОТ следующая. 1) Алгебраическая особая точка. Вблизи точки $z = a$ решение представимо сходящимся рядом по целым или дробным степеням $z - a$ : $w(z)=(z-a)^{p/q}\sum\limits_{i=0}^\infty c_i(z-a)^{i/q}$ , где р, q - целые числа, $q\geq 1$ . 2) Трансцендентная особая точка. Это такая неалгебраическая ОТ, что существует $\lim\limits_{z\to a}w(z)$ . Пример: $w=\ln (z-C)$ . 3) Существенно особая точка. Предел $\lim\limits_{z\to a}w(z)$ не существует. Уравнение $P (z, w, w') = 0$ не имеет подвижных существенно особых точек, если Р - полином от $w,w^\prime$ с аналитическими по z коэфффициентами. Рассмотрим автономную систему из n уравнений
$w^\prime=f(w), w=(w_1,...,w_n), f=(f_1,...,f_n)$ , (7)

вектор-функция $f(w)$ аналитична в окрестности точки $w = 0$ и $f(0) = 0$ . Пусть $\lambda_1,...,\lambda_n$ - собственные значения матрицы Якоби $f^\prime(0) = {\displaystyle \partial f_i\over\displaystyle\partial w_j}_w=0$ , т.е. матрицы линеаризованной системы. Они называются резонансными, если $\lambda_s=\sum\limits_{j=1}^n m_j\lambda_j$ при некотором s, где m_j $\geq$ 0 - целые числа, $\sum\limits_{j=1}^n m_j\geq 2$ , и нерезонансными в противном случае.

Теорема Пуанкаре. Пусть $\lambda_1,...,\lambda_n$ нерезонансны и лежат по одну сторону от некоторой прямой в комплексной плоскости $\lambda$ , проходящей через начало координат. Тогда с помощью аналитической замены переменных $w=g(u)$ , $g(0) = 0$ система (7) приводится к виду $u_j^\prime=\lambda_ju_j, j = 1, ..., n$ в некоторой окрестности точки $w=0$ .

Написать комментарий