Алгебраический подход в квантовой теории поля - направление, использующее аппарат теории алгебр для исследования квантовополевых систем, описываемых в естественных для квантовой механики терминах наблюдаемых и состояний. Эти два понятия возникли при выяснении алгебраической структуры нерелятивистской квантовой механики в конце 1920-х гг. в работах Дж. фон Неймана (J. von Neumann), П. Дирака (P. Dirac), П. Йордана (P. Jordan). Алгебраический подход, возникший на рубеже 50-х и 60-х гг., явился нетривиальным обобщением идей и построений этих работ на релятивистскую квантовую теорию. В первоначальный период своего развития он выступал в качестве одного из направлений аксиоматической квантовой теории поля и, подобно другим направлениям, строился в виде аксиоматического формализма, в котором принимают лишь минимальное число фундаментальных физических положений (аксиом) и стремятся вывести наиболее полную систему строгих следствий из этих аксиом. В этот период были сформулированы два варианта аксиоматического алгебраического подхода: конкретный, или подход Хаага-Араки [Р. Хааг (R. Haag), X. Араки (Н. Araki), 1957 - 62], и абстрактный, или подход Хаага-Кастлера [Хааг, Д. Кастлер (D. Kastler). 1964]. Прямым обобщением квантовомеханического соответствия наблюдаемая эрмитов оператор является центральное понятие обоих подходов - т. н. алгебра локальных наблюдаемых, ее самосопряженные элементы представляют собой физические наблюдаемые, измеримые в заданной ограниченной области пространства Минковского М (обычная локальная квантовая теория поля оперирует не только с наблюдаемыми величинами и относит их не к конечной области, а к точке). Физическая теория определяется заданием фундаментального соответствия , где - любая открытая ограниченная область из М. - алгебра локальных наблюдаемых данной области. В подходе Хаага-Араки выбирается из класса алгебр фон Неймана, а в подходе Хаага-Кастлера - из класса абстрактных С*-алгебр. На фундаментальное соответствие и налагается система аксиом, включающая физические требования причинности, релятивистской ковариантности и спектральности.

Набор алгебр , удовлетворяющих системе аксиом, называется сетью локальных алгебр. Изучение таких сетей ставит двоякую задачу: выяснение свойств отдельной алгебры и связей между алгебрами различных областей. Результаты 1-го рода включали в себя анализ свойств центра алгебры ( - знак пересечения), выяснение ее типа {по классификации алгебр фон Неймана). Важным результатом явилась здесь, в частности, теорема Рее-Шлидера [X. Pee (H. Ifeeh), З. Шлидер (S. Schlieder), 1962], утверждающая, что, совершая операции, локализованные в произвольной, сколь угодно малой области, можно получить состояние, сколь угодно близкое к любому заданному состоянию. Среди разнообразных связей между алгебрами физический интерес представляют в первую очередь т. н. причинные соотношения, связывающие между собой алгебры взаимно пространственноподобных областей и выражающие взаимную независимость процессов, протекающих в таких областях, а также "соотношения зависимости", утверждающие, что все физические наблюдаемые некоторой области в действительности исчерпываются наблюдаемыми определенной подобласти , т. е. . Обширный набор таких соотношений, полученных в рамках алгебраического подхода, позволил дать подробное описание причинной структуры квантовополевой теории и обнаружить ряд закономерностей релятивистских квантовых процессов.

При большой общности и строгости результатов аксиоматический алгебраический подход не передавал, однако, многих важных особенностей структуры и поведения квантовополевых систем. Главным пробелом в его схеме было отсутствие представлений о квантованном поле: последнее не входило в аксиоматику наблюдаемых ни в качестве первичного, независимого объекта, ни в качестве вторичного, как-то определяемого через наблюдаемые. Преодоление этого пробела стало центральной задачей алгебраического подхода на следующем этапе его развития, связанном в первую очередь с циклом работ Хаага, С. Доплихера (S. Dopplicher) и Дж. Робертса (J. Roberts) 1969-74. Было выяснено, что наблюдаемые и квантованные поля связаны между собой прежде всего посредством правил суперотбора. Явление правил суперотбора (открытое в 1952, но в то время не причислявшееся к ключевым свойствам квантовополевых систем) заключается в существовании особого класса наблюдаемых, измерения которых совместимы с измерениями любых других наблюдаемых; "суперотборные операторы", отвечающие таким наблюдаемым, должны коммутировать с операторами всех наблюдаемых. Подобными наблюдаемыми являются, например, полный электрический заряд квантовой системы, ее тип статистики. При наличии в системе правил суперотбора ее пространство состояний разбивается на т. н. когерентные суперотборные секторы, так что состояния, лежащие в каждом секторе, представляются собственными векторами всех суперотборных операторов; при этом состояния из разных секторов различаются между собой собственными значениями суперотборных операторов - т. н. суперотборными квантовыми числами. Именно здесь и возникает понятие поля: в полном согласии с интуитивным представлением о квантованном поле как переносчике заряда и др. квантовых чисел поле оказывается оператором переплетения когерентных суперотборных секторов - оператором, который переводит векторы состояния из одного сектора в другой и, кроме того, удовлетворяет определенным перестановочным соотношениям с др. подобными операторами (что связано с требованиями определенного спина и статистики полей). В упомянутом цикле работ были развиты методы, дающие принципиальную возможность строить такие поля, исходя из заданной совокупности суперотборных квантовых чисел (заметим, что ее задание выводит теорию за рамки чисто аксиоматического алгебраического подхода) и сети алгебр локальных наблюдаемых. Для возникающей алгебраической схемы оказывается возможным установить все важнейшие "специфически полевые" свойства релятивистских квантовых систем: ввести операцию зарядового сопряжения, доказать наличие античастицы для каждой из присутствующих в теории частиц, определить тип статистики физической системы и доказать обобщенную теорему о связи спина и статистики (см. Паули теорема) и др. В итоге формализм алгебраического подхода получает нетривиальное углубление и развитие, превращаясь из чистой аксиоматики локальных наблюдаемых в реалистичную теорию квантованных полей.

Перечисленные результаты были первоначально получены только для квантовополевых систем с короткодействующими взаимодействиями и глобальными калибровочными симметриями. Дальнейшая работа ставит задачи распространить развитые методы в первую очередь на системы, представляющие наибольший интерес с точки зрения современной теории элементарных частиц: модели с локальными калибровочными симметриями, с топологическими зарядами и фазовыми переходами. Как удалось выяснить, алгебраический подход, дополненный теорией правил суперотбора, не только допускает обобщение на такие модели, но и позволяет рассматривать весьма широкий их спектр с единой физической и математической точки зрения. (Здесь, например, была строго доказана теорема Голдстоуна о спонтанном нарушении симметрии). Оказывается возможным (и плодотворным) дать общую классификацию квантовополевых систем по типам присущих им правил суперотбора и для каждого из таких типов сформулировать методику построения строгой теории, опирающуюся на алгебраический аппарат, а также на методы евклидовой квантовой теории поля и конструктивной квантовой теории поля. Т. о., на современном этапе алгебраический подход более не является обособленным научным направлением. В тесном сочетании с евклидовой и конструктивной квантовой теорией поля он входит в единую основу современной техники строгого исследования квантовополевых систем.