Аксиоматическая квантовая теория поля (АКТП) - квантовая теория поля (КТП), построенная по образцу аксиоматической теории, т. е. таким образом, чтобы все ее результаты выступали как строгие следствия единой системы фундаментальных физических предположений - аксиом.

Возможность представления КТП в такой форме требует определенных условий. В отличие от аксиоматических теорий в математике, физическая теория не может сразу строиться в виде аксиоматического формализма. Если в математике система объектов и система аксиом для них прямо берутся в качестве исходных данных теории, то в физике исходят из определенного запаса экспериментальных фактов и некоторой совокупности закономерностей, подмеченных в этих фактах. Неизбежным образом различные участки изучаемой области явлений (релятивистских явлений в микромире в случае КТП) сначала описываются различными теоретическими схемами, которые часто не вполне согласуются между собой и, кроме того, как правило, являются лишь приближенными, а не точными. На таком этапе физическая теория еще не подготовлена к представлению в строгой аксиоматической форме. Лишь когда надежно установлены главные закономерности, управляющие данной областью явлений, выяснена степень их общности и точные закономерности отделены от приближенных, становится целесообразным выразить их в виде системы фундаментальных аксиом и представить основные результаты теории как строгие следствия из этой системы аксиом. Т. о., "если в математике мы аксиоматизируем, чтобы понять, то в физике нам нужно сначала понять, чтобы аксиоматизировать" (Ю. Вигнер).

Эти особенности аксиоматического метода в физике отразились и в формировании АКТП. Оно происходило в середине 1950-х гг., когда после создания теории перенормировок возникли надежды на последовательность квантовополевого описания хотя бы на уровне теории возмущений, и шло одновременно в нескольких направлениях. В каждом из них построение аксиоматической схемы включает в себя те же основные этапы. Сначала выбираются исходные физические объекты, в терминах которых и идет дальнейшее развитие теории. Затем находится (а иногда и строится заново) математический аппарат, пригодный для описания объектов. Последние два этапа - формулировка системы аксиом и вывод следствий из них.

Физическое содержание, вносимое в теорию ее аксиомами, практически одинаково для всех направлений АКТП. По существу системы аксиом - это одни и те же строго сформулированные предположения, из которых исходит традиционная КТП. Прежде всего сюда входит аксиома релятивистской инвариантности: в соответствии с принципом относительности Эйнштейна, все физические законы не должны зависеть от выбора начала отсчета, направления осей координат и времени и от равномерного прямолинейного (поступательного) движения системы отсчета. Аксиома локальности (причинности) требует, чтобы какое-либо событие, происшедшее в физической системе, могло повлиять на поведение системы лишь в моменты времени, следующие за этим событием. Наконец, аксиома спектральности утверждает, что энергии всех допустимых состояний физической системы (ее спектр энергий) должны быть положительны. Эта аксиома отражает фундаментальный факт положительности масс частиц, подтверждаемый всей физической практикой. В конкретных вариантах к этим фундаментальным принципам добавляют также в качестве аксиом дополнительные требования, прежде всего положительность нормы векторов, представляющих физические состояния. Отличия между разными вариантами АКТП определяются выбором исходных физических величин. Возможности этого выбора весьма разнообразны, однако можно выделить три основных варианта, к которым сводятся все остальные.

В аксиоматическом подходе Боголюбова (предложен в 1955 Н. Н. Боголюбовым) в качестве основного физического объекта выбрана матрица рассеяния, состоящая из набора величин (амплитуд процессов), определяющих вероятности всех возможных переходов системы из состояний до начала взаимодействия в состояния после его окончания (такие состояния называются асимптотическими).

В аксиоматическом подходе Уайтмена [предложен в 1956 А. С. Уайтменом (A. S. Wightman)] исходным физическим объектом служит взаимодействующее квантованное поле (поле, описывающее взаимодействия). В принципе это - ненаблюдаемая величина, являющаяся обобщением развитой еще при зарождении КТП концепции квантованного поля свободных частиц.

В алгебраическом подходе [развит в 1957-64 Р. Хаагом (R. Haag), X. Араки {Н. Araki), Д. Кастлером (D. Kastler)] фундаментальным объектом является совокупность всех наблюдаемых - набор всех физических величин, которые могут быть непосредственно измерены в эксперименте (или последовательности экспериментов). Алгебраический подход - наиболее широкий и общий из всех направлений АКТП, поскольку в нем не налагается никаких ограничений на то, какими физическими характеристиками может обладать описываемая система (тем самым в форме теории локальных наблюдаемых может быть представлена, вообще говоря, любая физическая теория, как квантовая, так и классическая). Аксиомы Хаага-Араки формулируются для совокупности локальных наблюдаемых, которые можно определить с помощью измерений в фиксированной ограниченной области пространства-времени. Для элементов такой совокупности можно ввести алгебраические операции сложения, умножения и умножения на число, в связи с чем ее называют алгеброй локальных наблюдаемых или локальной алгеброй (данной области пространства-времени). Концепция локальных наблюдаемых и правила действий с ними фактически обобщают формализм операторов обычной квантовой механики и вполне естественны для квантовой физики. Алгебраический подход эффективен при изучении наиболее общих свойств КТП. Так, в его рамках дано простое и компактное описание свойств причинности в релятивистской квантовой теории, найдены строгие критерии эквивалентности физических теорий и выяснено, при каких дополнительных условиях теория локальных наблюдаемых включает в себя квантованные поля.

Все перечисленные подходы приспособлены в первую очередь для описания квантовых систем, не включающих частиц нулевой массы. Сюда относится, прежде всего, теория сильного взаимодействия в ее традиционной форме. Реалистичные теории с безмассовыми частицами (и наиболее важная из них - квантовая электродинамика), как правило, принадлежат к разряду теорий калибровочных полей. Для таких теорий строго доказаны теоремы запрета, согласно которым принципы локальности и релятивистской инвариантности несовместимы с постулатом положительности нормы в пространстве физических состояний. Поэтому здесь возникает необходимость существенной модификации схемы АКТП. Попытки построения подобной модификации связываются с использованием пространств состояний, допускающих отрицательную норму для векторов состояний (пространств с индефинитной метрикой).

Подход Уайтмена - наиболее разработанное и изученное из направлений АКТП, давшее самый большой вклад в ее развитие. Именно на его основе полностью выяснено, каким математическим аппаратом следует пользоваться для описания релятивистской квантовой системы с помощью взаимодействующего квантового поля. Этот аппарат позволил строго вывести из аксиом АКТП нетривиальные физические следствия. Первым из них явилось обобщение теоремы CPT, полученное Р. Йостом (R. Jost). CPT-теорема Йоста раскрывает глубокую связь причинных свойств теории со свойствами симметрии пространства-времени и допускает непосредственную проверку на опыте. Следующее крупное достижение подхода Уайтмена - построение теории рассеяния Хаага-Рюэля [Хааг, Д. Рюэль (D. Ruelle), 1958-62], установившей, что в схеме Уайтмена, исходящей из понятия поля, а не частицы, асимптотические состояния поля обладают свойствами частиц. Тем самым была успешно решена проблема корпускулярной интерпретации полевой теории, т. е. доказано, что теория поля одновременно способна служить и теорией частиц.

Аксиоматический подход Боголюбова, первый по времени появления, оказал наибольшее влияние на развитие KTП и вообще теории элементарных частиц (в частности, тем, что выработал понятие об амплитуде процесса в его различных каналах как о единой аналитической функции своих переменных). Хотя в систему его аксиом входят дополнительные предположения (по-видимому, вытекающие из основных аксиом), оправданием таких допущений служит то, что с их помощью существенно сокращается путь к результатам, которые могут быть непосредственно проверены на опыте. Результаты такого рода в АКТП немногочисленны, но обладают особой ценностью, поскольку могут служить критериями справедливости основ КТП. Значительная их часть получена в рамках аксиоматики Боголюбова. Прежде всего к ним относится доказательство дисперсионных соотношений в КТП (Боголюбов, 1956; см. Дисперсионных соотношений метод). Использование дисперсионных соотношений развилось в широкий метод изучения взаимодействия элементарных частиц, являющийся одним из основных рабочих средств КТП. Другой принципиальный результат - доказательство аналитичности амплитуды рассеяния в некотором эллипсе в комплексной плоскости угла рассеяния [X. Леман (Н. Lehmann), 1958; А. Мартен (A. Martin), 1966]. Далее, для произвольных стабильных масс доказана аналитичность амплитуды (при фиксированной передаче импульса) вне окрестности начала координат разрезанной комплексной плоскости инвариантной энергии [Ж. Брос (J. Bros), В. Глазер (V. Glaser), А. Эпштейн (Н. Epstein), 1965]. Последние результаты приводят к многочисленным, непосредственно проверяемым следствиям АКТП: Померанчука теореме, ограничениям на рост амплитуд упругого рассеяния (А. Мартен и др., 1963-66; А. А. Логунов и др., 1963) и множественных процессов и характеристик инклюзивных процессов (А. А. Логунов и др., 1967 - 74).

На рубеже 60-70-х гг. принципиальные проблемы этой традиционной АКТП были в основном решены. Однако в то же время наметились новые проблемы для КТП в целом, связанные с обнаружением новых особенностей процессов взаимодействия элементарных частиц. Большую, если не главную роль в них играют структуры, недостаточно учитывавшиеся или совсем не учитывавшиеся традиционной КТП: суперотбора правила различных типов, калибровочные поля, фазовые переходы и топологические заряды. Аксиоматический подход пока не занимает в их изучении видного места. Но и на этом новом этапе КТП фундаментальные аксиомы, лежащие в основе прежней АКТП, и ее результаты сохраняют силу и ценность для современных исследований. Новая АКТП должна быть не отменой, а обогащением прежней, включив в себя положения, которые отражают специфику новой структуры (что, возможно, потребует и перехода на новый математический язык). К этому направлению относятся некоторые результаты конструктивной квантовой теории поля, поиски строгого аппарата для теории калибровочных полей, алгебраическая теория правил суперотбора (см. Алгебраический подход). Наиболее актуальная задача в данный период - создание аксиоматической формулировки калибровочной КТП.