Научная Сеть >> Механика сплошных сред

Наука >> Физика >> Общая физика >> Механика >> Механика сплошных сред | Курсы лекций

Посмотреть комментарии[3]

Добавить новое сообщение

См. также

О.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Вариационные принципы механики

22 января - 93 года со дня рождения Ландау

Механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Введение в физику открытых систем: аттрактор Лоренца

Колебания и волны: Энергия, переносимая звуковой волной.

Введение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Автомодельность

Колебания и волны: Предисловие

Механика сплошных сред. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1998 г.

Содержание

Уравнения Эйлера для идеальной жидкости.

При заданных внешних силах и известных свойствах жидкости можно записать, пользуясь 2-м законом Ньютона, уравнение движения единицы объема несжимаемой невязкой жидкости:

$\rho\frac{dv}{dt} = F - {\rm grad }\; {p},$

(3.28)

где оператор grad (градиент) определяется как

${\rm grad} = i\frac{\partial}{\partial x} + j\frac{\partial}{\partial y} + k\frac{\partial}{\partial z}$

(3.29)

Уравнение (3.28)записано в векторном виде и является обобщением одномерного уравнения (3.3).
Расписывая (3.28) для трех проекций скорости, получаем систему уравнений
$\rho\left(\frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x\frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y\frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\right) = F_x - \frac{\partial p}{\partial x}$

$\rho\left(\frac{\partial v_y}{\partial t} + v_x\frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y\frac{\partial v_y}{\partial y} + v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}\right) = F_y - \frac{\partial p}{\partial y}$

(3.30)

$\rho\left(\frac{\partial v_z}{\partial t} + v_x\frac{\partial v_z}{\partial x} + v_y\frac{\partial v_z}{\partial y} + v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right) = F_z - \frac{\partial p}{\partial z}$
Если эти уравнения дополнить условием неразрывности
$\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0,$
то мы получаем полную систему уравнений с четырьмя неизвестными функциями координат и времени (v_x, v_y, v_z и p). Уравнения (3.29) называются уравнениями Эйлера и позволяют, в принципе, рассчитать динамику жидкости. Однако с математической точки зрения эта система, в отличие от многих других уравнений в физике, является нелинейной из-за наличия членов типа $v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}, \ldots, v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}$ . Поэтому интегрирование этих уравнений и нахождение искомых функций представляет подчас весьма сложную задачу даже при использовании мощных ЭВМ. Несложно, например, из (3.30) получить уравнение Бернулли для стационарного течения, когда $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$ . Однако строгий вывод этого уравнения мы предоставляем читателю проделать самостоятельно, обратившись к рекомендованной литературе. Мы же будем использовать уравнения (3.30) для описания волнового движения жидкости и анализа свойств акустических волн.
В заключение отметим, что часто система (3.30) пишется в более компактном виде с использованием оператора градиента. Каждое из трех уравнений (3.30) имеет вид
$\rho\left(\frac{\partial}{\partial t} + v \cdot {\rm grad }\right) v_{x,y,z} = F_{x,y,z} - ({\rm grad }\; {p})_{x,y,z}.$
Возвращаясь к векторному представлению, получаем возможность записать 4 уравнения Эйлера (3.29) в виде двух векторных:

$\begin{array}{l} \rho\left[\frac{\partial}{\partial t} + v \cdot {\rm grad }\right] v = F - {\rm grad }\; {p}\\ {\rm div }\; {\bf v} = 0. \end{array}$

(3.31)

Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости

При течении газов, особенно при больших скоростях, их плотность может заметно, а то и значительно, меняться во времени и в пространстве. Ясно, что объем втекающей жидкости может не быть равным объему вытекающей жидкости через поверхность кубика, изображенного на рис. 3.11. Если такого равенства нет, то масса газа внутри кубика (а с ней и плотность) будут со временем меняться. Уравнение (3.24) в этом случае становится несправедливым. Однако и здесь можно записать уравнение неразрывности, основная идея вывода которого базируется на балансе массы газа, составляющего физическую суть равенства (3.1). Поток массы газа через площадку dS будет равен $dN_M = \rho v\cdot dS$ . Тогда полный поток массы газа через боковую поверхность элемента объема dxdydz, аналогично (3.27), равен

$dN_M = dxdydz\cdot {\rm div }(\rho {\bf v}),$

(3.32)

где - $\rho v$ новое векторное поле. Если этот поток положительный, то масса внутри элемента $m = \rho dxdydz$ будет убывать за счет уменьшения во времени плотности . Поэтому, записывая условие баланса массы в виде

$dxdydz\cdot {\rm div }(\rho {\bf v}) = -dxdydz\frac{\partial\rho}{\partial t}.$

(3.33)

мы получаем (после сокращения на dxdydz) одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение неразрывности сжимаемой жидкости:

$\frac{\partial\rho}{\partial t} + {\rm div }(\rho {\bf v}) = 0$

(3.34)

Следует отметить, что при $\rho$ =const это уравнение переходит в (3.24).

Рис. 3.11.

В электродинамике это уравнение является также фундаментальным. В самом деле, если речь идет о движущихся зарядах, объемная плотность которых равна $\rho$ , то уравнение (3.34) является математическим выражением универсального закона сохранения заряда.

Уравнения Эйлера и уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости.

Динамика сжимаемой жидкости базируется также на 2-м законе Ньютона, записанном для единицы массы жидкости. Равнодействующая сил давления и внешних сил создает ускорение единицы массы, поэтому

$\left(\frac{\partial}{\partial t} + v \cdot {\rm grad }\right) v = - \frac{1}{\rho} {\rm grad } p + F,$

(3.35)

где F - внешняя сила, действующая на единицу массы. Для определения 5-ти неизвестных величин (v_x, v_y, v_z, p и $\rho$ ) необходимо дополнить (3.35) материальным уравнением, связывающим плотность и давление:

$p = p(\rho).$

(3.36)

Система (3.34) - (3.36) носит название уравнений Эйлера для сжимаемой жидкости. Огромное количество задач газодинамики решается на основе анализа этих уравнений.
Воспользуемся уравнением (3.35) и получим уравнение Бернулли. Для этого видоизменим правую часть (3.35), введя вспомогательную функцию ${\cal P}$ (2.27), и учтем (2.29). Тогда (3.35) примет вид

$\left(\frac{\partial}{\partial t} + v{\rm grad }\right) v = - {\rm grad }({\cal P} + U_1).$

(3.37)

При стационарном течении $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$ . В направлении оси трубки тока (вдоль криволинейной координаты $\ell$ ) можно записать

$v\frac{d}{d\ell}v = - \frac{d}{d\ell}({\cal P} + U_1).$

(3.38)

Поскольку потенциальная энергия единицы массы $U_1 (\ell) = U_1 (h) = gh + {\rm const}$ , а ${\cal P}(\ell) = \int\limits_{p(\ell)}^{p_1 (\ell_1)} \frac{dp}{\rho}$ , то, по аналогии с (3.13), перепишем (3.38) в виде:

$\frac{d}{d\ell}\left(\frac{v^2}{2} + \int\limits_{p(\ell)}^{p_1 (\ell_1)} \frac{dp}{\rho} + gh\right) = 0$

(3.39)

Интегрируя (3.39) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости

$\frac{v^2}{2} + \int\limits_{p(h)}^{p_1 (h_1)} \frac{dp}{\rho} + gh = {\rm const}$

(3.40)

Здесь h - положение по вертикали сечения трубки тока с координатой $\ell$ . Очевидно, что $p(\ell) = p(h), p_1(\ell_1) =p_1(h_1)$ . Постоянная в (3.40) определяется заданием скорости v₁ и высоты h₁ в фиксированном сечении с координатой $\ell_1$ . С учетом этого, уравнение (3.40) обретает вид

$\frac{v^2}{2} + \int\limits_{p(h)}^{p_1 (h_1)} \frac{dp}{\rho} + gh = \frac{v_1^2}{2} + gh_1.$

(3.41)

Для практического использования уравнения Бернулли необходимо знание материальной связи между p и $\rho$ . Для случая несжимаемой жидкости ( $\rho$ = const) уравнение (3.41) переходит в (3.15).
Если речь идет о потоке газа, то при его быстром сжатии (увеличение плотности) газ будет нагреваться. Из-за плохой теплопроводности газа тепло не будет успевать уходить из нагретых областей. Поэтому для установления материальной связи $p=p(\rho)$ воспользуемся адиабатическим приближением:

$\frac{p}{p_1} = \left(\frac{\rho}{\rho_1}\right)^\gamma,$

(3.42)

где показатель адиабаты $\gamma >1$ . Такая связь получается из первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа (2.32) при условии отсутствия теплообмена между нагретой областью и окружающей средой. Давление в (3.42) возрастает с плотностью быстрее, чем при изотермическом процессе, так как $\gamma >1$ . В курсе молекулярной физики будет показано. что $\gamma = C_p/C_V$ (C_p и C_V - теплоемкости при постоянных давлении и объеме соответственно). Для воздуха, состоящего главным образом из двухатомных газов, $\gamma$ = 1,4.
Если подставить (3.42) в (3.41) и выполнить простейшее интегрирование, то можно записать выражение для распределения давления вдоль трубки тока:

$p = p_1\left\{ 1 - \frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{\rho_1}{p_1}\left[\frac{1}{2}\left( v^2 - v_1^2\right) + g(h - h_1)\right]\right\}^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}}.$

(3.43)

Не умаляя общности, будем считать трубку тока горизонтальной (h=h₁). Положим далее скорости течения такими, что

$\frac{1}{2}\left| v^2 - v_1^2\right| < \frac{1}{\gamma - 1}\frac{\gamma p_1}{\rho_1} = \frac{c_1^2}{\gamma - 1},$

(3.44)

где $c_1 = \sqrt{\gamma\frac{p_1}{\rho_1}}$ - параметр, имеющий размерность скорости. Как мы увидим несколько позднее, скорость звука в газе

$c = \sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}.$

(3.45)

При нормальных условиях для атмосферы с=336 м/с. В этом случае (3.43) можно разложить в ряд:

$p = p_1\left\{ 1 - \frac{\rho_1}{p_1}\left(\frac{v^2 - v_1^2}{2}\right) + \frac{1}{2\gamma}\frac{\rho_1^2}{p_1^2}\left(\frac{v^2 - v_1^2}{2}\right)^2 + \ldots\right\}.$

(3.46)

Если пренебречь квадратичным членом в (3.46), то распределение давлений соответствует течению несжимаемой жидкости с плотностью $\rho_1$ =const. Квадратичный член начинает давать вклад в распределение давлений при скоростях потока, соизмеримых со скоростью звука с₁.
Подставив (3.42) в (3.43), получаем распределение плотности вдоль трубки тока:

$\rho = \rho_1\left\{ 1 - \frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{\rho_1}{p_1}\left[\frac{1}{2}\left( v^2 - v_1^2\right) + g(h - h_1)\right]\right\}^{\frac{1}{\gamma - 2}}$

(3.47)

Для горизонтальной трубки тока и при условии (3.44) распределение плотности (3.47) имеет вид:

$\rho = \rho_1\left( 1 - \frac{v^2 - v_1^2}{2c_1^2} + \ldots\right)$

(3.48)

Таким образом, изменение плотности газа необходимо принимать в учет только при скоростях течения, сопоставимых по порядку величины со скоростью звука, определяемой, как следует из (3.45), давлением и плотностью в этом потоке.
Если же скорость течения $v\ll c$ , то сжимаемостью газа можно пренебречь и оперировать с ним, как и с жидкостью.

Назад | Вперед

Физический факультет МГУ

Посмотреть комментарии[3]