Научная Сеть >> Механика сплошных сред

Наука >> Физика >> Общая физика >> Механика >> Механика сплошных сред | Курсы лекций

Посмотреть комментарии[3]

Добавить новое сообщение

См. также

О.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Вариационные принципы механики

22 января - 93 года со дня рождения Ландау

Механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Введение в физику открытых систем: аттрактор Лоренца

Колебания и волны: Энергия, переносимая звуковой волной.

Введение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Автомодельность

Колебания и волны: Предисловие

Механика сплошных сред. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1998 г.

Содержание

Распространение возмущений давления и плотности.

Если в неподвижной жидкости или газе быстро создать в небольшой области избыточное давление $\Delta p$ , а значит и избыточную плотность $\Delta\rho$ , то с течением времени эти возмущения будут распространяться с некоторой скоростью, последовательно приводя в движение частицы среды, расположенные на пути распространения. Скорость распространения (как показывает опыт) не зависит от конкретного вида возмущения, если только относительные изменения $\Delta p/p \ll 1$ и $\Delta\rho/\rho \ll 1$ (p и $\rho$ равновесные значения давления и плотности среды). Важно отметить, что и форма таких малых возмущений в процессе их распространения не меняется.
Рассчитаем скорость распространения возмущений, используя самую простую физическую ситуацию. Пусть труба сечением S заполнена жидкостью или газом с давлением p и плотностью $\rho$ . В момент времени t=0 поршень, закрывающий трубу с одного конца, начинает двигаться с постоянной скоростью $v\ll c$ . Перед поршнем образуется область повышенного давления (рис. 3.13), граница которой будет двигаться с неизвестной пока скоростью c. Импульс силы F, приложенной к поршню, за время $\Delta t$ приведет к движению со скоростью v все частицы в объеме с повышенной плотностью $\rho + \Delta\rho$ . Поэтому можем записать равенство:

$F\Delta t = \Delta pS\Delta t = (\rho + \Delta\rho)(c - v)\Delta t\cdot S\cdot v,$

(3.49)

или

$\Delta p = (\rho + \Delta\rho)(c - v)\cdot v.$

(3.50)

Рис. 3.13.

Из условия постоянства (до и после сжатия) массы воздуха следует, что

$\rho Sc\Delta t = (\rho + \Delta\rho)(c - v)S\Delta t,$

(3.51)

или

$\rho c = (\rho + \Delta\rho)(c - v).$

(3.52)

Решая совместно (3.50) и (3.52), находим скорость движения частиц как функцию избыточного давления:

$v = \frac{\Delta p}{\rho c}$

(3.53)

В акустике последнее равенство выражает акустический закон Ома. Если проводить аналогию с законом Ома для участка цепи постоянного тока, известного из школы, то v является аналогом силы тока, $\Delta p$ - разности потенциалов, а $\rho c$ так и называется - акустическое сопротивление среды. Равенство (3.52) после раскрытия скобок имеет вид:

$0 = \Delta\rho\cdot c - \rho\cdot v - v\Delta\rho.$

(3.54)

Последний член в правой части (3.54) пренебрежимо мал. Тогда подстановка (3.53) в (3.54) приводит к искомому выражению для скорости:

$c = \sqrt{\frac{\Delta p}{\Delta\rho}}.$

(3.55)

Формула (3.55) позволяет рассчитать скорость звука различных жидкостей и газов, если известна материальная связь между давлением и плотностью. Для воздуха эта связь дается уравнением адиабаты (3.42):

$p = {\rm const}\cdot\rho^\gamma$

(3.56)

Поскольку $\Delta p = {\rm const}\cdot\gamma\cdot\rho^{\gamma - 1}\cdot\Delta\rho$ , то

$c = \sqrt{{\rm const}\cdot\gamma\cdot\rho^{\gamma - 1}} = \sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}$

(3.57)

При нормальных условиях p = 10⁵ Па, $\rho\approx$ 1,3 кг/м³ и $c\approx$ 336 м/c.
Для воды, сжимаемость которой значительно меньше, скорость звука с = 1200 м/с. Отметим, что скорость звука в воздухе увеличивается с увеличением его равновесной плотности $\rho$ (3.57). Это замечание нам очень пригодится далее, когда мы будем рассматривать распространение акустических волн большой амплитуды.

Истечение сжатого газа через сопло

Рассмотрим одну из важнейших задач газодинамики - истечение газа, предварительно сжатого в сосуде до давления p₁ и плотности $\rho_1$ , через выходную трубку переменного сечения (сопло) (рис. 3.14). Скорость истечения v, согласно равенству (3.43), получается равной

$v = \sqrt{v_1^2 + \frac{2\gamma}{\gamma - 1}\frac{p_1}{\rho_1}\left[1 - \left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}\right]}.$

(3.58)

Здесь учтено, что $h\approx h_1$ .

Рис. 3.14.

При малом сечении сопла скорость v₁ очень мала, и ею можно пренебречь. Наконец, будем считать, что давление снаружи $p \ll p_1$ . Поэтому

$v = \sqrt{\frac{2\gamma}{\gamma - 1}\frac{p_1}{\rho_1}}.$

(3.59)

Оценка, проведенная по этой формуле, для случая, когда воздух при нормальных условиях вытекает в вакуум, дает величину скорости v=750 м/n. Эта скорость более чем вдвое превышает скорость звука и, как показывает опыт, при использовании сужающегося сопла достигнута быть не может. Реально воздух достигает лишь скорости звука, поскольку давление в сопле настолько возрастает, что этот поток как бы зажигает сопло. Этот вывод подтверждается и простейшими расчетами. Пусть $\ell$ - координата, направленная вдоль оси сопла, переменное сечение которого $S = S(\ell)$ . Для стационарного течения уравнения Эйлера (3.35) и уравнение Бернулли (3.40) связывают приращение скорости и давления:

$vdv = - dp/\rho$

(3.60)

Из условия постоянства массы (3.1) следует, что в любом сечении сопла $\rho vS = {\rm const}$ , или

$\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dv}{v} + \frac{dS}{S} = 0.$

(3.61)

Наконец, согласно (3.55), можем записать

$dp = c^2 d\rho,$

(3.62)

где c - скорость звука в сечении S, меняющаяся вдоль сопла. Из (3.60) и (3.62) имеем

$vdv = - c^2 \frac{d\rho}{\rho}.$

(3.63)

Подставив (3.63) в (3.61), находим

$\frac{dS}{S} = \frac{dv}{v}\left(\frac{v^2}{c^2} - 1\right).$

(3.31)

Таким образом, при дозвуковых скоростях $\left(\frac{v}{c}\ll 1\right)$ при сужении потока (dS<0), скорость возрастает (dv>0), а давление (согласно 3.63) - убывает. Однако, по мере приближения к скорости звука c темп достигает некоторого максимального значения, не превышающего c. При расширении потока (dS>0) с начальной скоростью $v \ll c$ , будет иметь место уменьшение скорости по потоку с одновременным ростом давления и плотности.
Получить сверхзвуковые скорости можно лишь при использовании сопла, форма показана на рис. 3.15. В сужающейся части сопла поток ускоряется. Когда его скорость в самом узком сечении превысит скорость звука ( $v\ge c$ ), то, согласно (3.64), увеличение сечения (dS>0) будет приводить к дальнейшему ускорению потока. при одновременном падении давления и плотности. Такое сопло, получившее название сопла Лаваля (по имени его изобретателя) позволяет получить сверхзвуковые скорости потоков. Эта идея чрезвычайно плодотворно используется при конструировании ракетных двигателей. На этом же принципе построена аэродинамическая труба, в которую помещаются модели сверхзуковых самолетов.

Рис. 3.15.

Назад | Вперед

Физический факультет МГУ

Посмотреть комментарии[3]