Малый Мехмат                9 класс    
  
    
            Занятие 23                14 апреля 2001 года    
  

Метод крайнего

На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял.

Докажите, что не существует выпуклого многогранника, все грани которого имеют различное число сторон.

По окружности расположены 6 чисел, при этом каждое число равно модулю разности двух следующих за ним по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна единице. Найдите эти числа.

Путешественник отправился из своего родного города А в самый удаленный от него город Б, оттуда --- в самый удаленный от Б город В и т.д. Докажите, что если В и А --- разные города, то путешественник никогда не вернется домой.

В марсианском метро с любой станции можно проехать на любую. Докажите, что можно так выбрать станцию и закрыть ее на ремонт (без права проезда через нее), что по прежнему можно будет проехать с любой оставшейся на любую оставшуюся.

Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.

На полях шахматной доски расставлены числа 1, 2, ... 64 (по одному на каждой клетке). Докажите, что найдется пара соседних по стороне клеток, где числа отличаются не меньше, чем на 5.

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABD и CBE. Отрезки CD и AE пересекаются в точке M. Докажите, что AM+BM+CM=CD.

Проказница мартышка, осел, козел да косолапый мишка затеяли сыграть в квартет. Пришли на лужок, сели в кружок, но музыка не пошла. Тогда друзья стали пересаживаться. За одну пересадку меняется местами одна пара соседей. Друзья не успокоятся, пока каждый не посидит на каждом месте. Каким наименьшим количеством пересадок они могут обойтись?