последовательность троек
13.10.2000 0:00 |
МЦНМО
В последовательности троек целых чисел (2,3,5), (6,15,10)...
каждая тройка получается из предыдущей таким образом:
первое число умножается на второе, второе - на третье,
а третье - на первое, и полученные произведения
дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел,
получаемых таким образом, не будет степенью целого числа:
квадратом, кубом и т.д.
Хочу подсказку
Решение:
Легко проверить, что каждая тройка имеет вид:
(2a3b5c,
2b3c5a,
2c3b5b),
где a,b,c - некоторые целые числа.
Тройка показателей (a',b',c') для следующей
тройки чисел получается из предыдущей тройки показателей
(a,b,c) по правилу: (a',b',c')=(a+b,b+c,c+a).
Начальная тройка показателей равна (1,0,0).
Некоторое из чисел какой-либо тройки является степенью
тогда и только тогда, когда числа из тройки показателей
будут делиться на одно и то же натуральное число, большее 1.
Легко проверить, что в тройке показателей либо одно число
четно, а два другие нечетны,
либо одно число
нечетно, а два другие четны, поэтому показатели a,b,c из
одной тройки не могут делиться на 2.
Осталось показать, что показатели не делятся ни на какое
нечетное число.
Предположим противное: пусть a',b',c' делятся на
нечетное p.
Тогда a+b,b+c,c+a делятся на p. Сложив эти числа,
получим, что 2(a+b+c) делится на p, и, следовательно,
a+b+c делится на p, поскольку p нечетно.
Отсюда a=(a+b+c)-(b+c) делится на p.
Таким же образом, b и c делятся на p, тем самым мы
осуществили спуск к предыдущей тройке показателей.
Рассуждая так дальше, в
конце мы получим, что каждое из чисел первой тройки
показателей (1,0,0) делится на p, что неверно.
Полученное противоречие завершает доказательство.
Написать комментарий
|
