Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций

Посмотреть комментарии[2]

Добавить новое сообщение

Next: Предметный указатель Up: 5 Добавление. Теория возмущений Previous: 1 случай некратных собственных

2 Случай кратных собственных значений

Рассмотрим теперь случай, когда $\lambda$ есть -кратное собственное значение преобразования . Обозначим через

$\displaystyle f_1,f_2,\dots,f_r$

(1)

какие-либо

попарно ортогональных собственных векторов преобразования

, отвечающих этому собственному значению $\lambda$ . Заметим, что, так как

$(i=1,2,\dots,r)$ отвечают одному и тому же собственному значению $\lambda$ , то линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, отвечающим этому собственному значению. Этими линейными комбинациями исчерпываются все собственные векторы преобразования

, отвечающие собственному значению $\lambda$ .

При замене преобразования на $A+\varepsilon B$ собственное значение перестанет, вообще говоря, быть кратным, и вместо $\lambda$ мы получим различных собственных значений $\lambda_1(\varepsilon ), \lambda_2(\varepsilon ), \dots, \lambda_r(\varepsilon )$ . Соответствующие нормированные собственные векторы обозначим через $e_1(\varepsilon ), e_2(\varepsilon ), \dots, e_r(\varepsilon )$ .

Например, если -- единичное преобразование, т.е. , в -мерном пространстве, а -- произвольное самосопряженное преобразование с попарно различными собственными значениями $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ , то имеет -кратное собственное значение 1, а $A+\varepsilon B=E+\varepsilon B$ имеет различных собственных значений $1+\lambda_1\varepsilon$ , $1+\lambda_2\varepsilon$ , $\dots$ , $1+\lambda_n\varepsilon$ .

Аналогично случаю простых собственных значений $\lambda_i(\varepsilon )$ и $e_i(\varepsilon )$ являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от $\varepsilon$ . При $\varepsilon\longrightarrow0$ $\lambda_i(\varepsilon )$ стремятся к собственному значению , т.е. к $\lambda_i$ . Мы имеем

$\displaystyle \lambda_i(\varepsilon )= \lambda_i+\varepsilon \lambda_i^{(1)}+ \varepsilon ^2\lambda_i^{(2)}+\dots$

(2)

Для собственных векторов $e_i(\varepsilon )$ преобразования $A+\varepsilon B$ мы имеем аналогичное равенство

$\displaystyle e_i(\varepsilon )= e_i+\varepsilon e_i^{(1)}+\varepsilon ^2e_i^{(2)}+\dots,$

(3)

$e_i=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}e_i(\varepsilon )$ , и значит,

есть собственный вектор преобразования

, отвечающий собственному значению $\lambda$ . Следовательно,

есть какая-то, заранее нам неизвестная, линейная комбинация векторов (1). Таким образом, в отличие от случая некратных собственных значений, сами

также подлежат определению. Подставим в равенство $(A+\varepsilon B)e_i(\varepsilon )= \lambda_i(\varepsilon ) e_i(\varepsilon )$ выражения (2) и (3). Сравнивая, как и в предыдущем случае, коэффициенты при $\varepsilon$ , получаем

$\displaystyle Be_i+Ae_i^{(1)}= \lambda e_i^{(1)}+\lambda_i^{(1)}e_i, \quad i=1,\dots,r.$

(4)

Здесь вектор

является, как было указано, линейной комбинацией собственных векторов $f_1, \dots, f_r$ :

$\displaystyle e_i=\eta_1f_1+\eta_2f_2+\ldots+\eta_rf_r.$

Наша цель -- найти число $\lambda_i^{(1)}$ и вектор , т.е. числа $\eta_1, \dots, \eta_r$ .

Умножая обе части (4) скалярно на , получим

$\displaystyle (Be_i,f_k)+(Ae_i^{(1)},f_k)= (\lambda e_i^{(1)},f_k)+\lambda_i^{(1)}(e_i,f_k),$

или, так как $(Ae_i^{(1)},f_k)=(e_i^{(1)},Af_k)= \lambda_k(e_i^{(1)},f_k)$ ,

$\displaystyle (Be_i,f_k)=\lambda_i^{(1)}(e_i,f_k).$

Подставляя в левую часть этого равенства вместо

его выражение и замечая, что $(e_i,f_k)=\eta_k$ , получим

$\displaystyle \sum_{p=1}^r(Bf_p,f_k)\eta_p=\lambda_i^{(1)}\eta_k,$

(5)

или

$\displaystyle \sum_{p=1}^rb_{kp}\eta_p=\lambda_i^{(1)}\eta_k,$

(I)

где

$\displaystyle (Bf_p,f_k)=b_{kp}.$

Итак, числа $\lambda_i^{(1)}$ являются собственными значениями матрицы $\Vert b_{kp}\Vert$ , $k,p=1,2,\dots,r$ , т.е. определяются из уравнения

$\displaystyle \operatorname{Det}\Vert b_{ik}-\lambda\sigma_{ik}\Vert=0,$

а вектор

определяется формулой

$\displaystyle e_i=\eta_1f_1+\ldots+\eta_rf_r,$

где числа $\eta_i$ находятся из уравнений (I).

Аналогично можно было бы найти поправки к собственным векторам, т.е. $e_k^{(1)}, e_k^{(2)}$ , и следующие поправки к собственным значениям, т.е. $\lambda_i^{(2)}$ .

Next: Предметный указатель Up: 5 Добавление. Теория возмущений Previous: 1 случай некратных собственных Vadim Yu. Radionov
2000-08-30

МЦНМО

Посмотреть комментарии[2]