Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций

Посмотреть комментарии[2]

Добавить новое сообщение

Next: Канонический вид произвольных линейных преобразований Previous: 16 преобразования в вещественном

17 Экстремальные свойства собственных значений

Рассмотрим самосопряженное линейное преобразование в -мерном евклидовом пространстве. Мы покажем, что его собственные значения можно получить, рассматривая некоторую задачу на минимум, связанную с соответствующей квадратичной формой . Это, в частности, позволит доказать существование собственных векторов, не пользуясь теоремой о существовании корня уравнения -й степени. Эти экстремальные свойства полезны также при вычислении собственных значений. Мы рассмотрим сначала вещественное пространство, а затем перенесем полученные результаты на случай комплексного пространства.

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма 17.1 Пусть -- самосопряженное линейное преобразование в вещественном пространстве такое, что квадратичная форма неотрицательна, т.е.

$\displaystyle (Bx,x)\geqslant0$ для любого $\displaystyle \quad x.$

Тогда, если для некоторого

$\displaystyle (Be,e)=0,$

то и

Доказательство. Покажем, что для любого вектора имеем . Для этого положим , где -- произвольное число, а -- вектор. Тогда имеем

$\displaystyle (B(e+th),e+th)=(Be,e)+t(Be,h)+t(Bh,e)+t^2(Bh,h)\geqslant0,$

т.е. так как

, то $2t(Be,h)+t^2(Bh,h)\geqslant0$ для любых

. Отсюда следует, что

Действительно, функция при $a\ne0$ меняет знак в точке , мы же получили, что выражение

$\displaystyle 2t(Be,h)+t^2(Bh,h)$

для любых

неотрицательно, следовательно,

$\displaystyle (Be,h)=0.$

Так как произвольно, то , что и требовалось доказать. $\qedsymbol$

Пусть -- некоторое самосопряженное линейное преобразование в -мерном вещественном евклидовом пространстве. Соответствующую квадратичную форму будем рассматривать на единичной сфере, т.е. на множестве векторов , для которых

$\displaystyle (x,x)=1.$

Имеет место следующая теорема.

Теорема 17.1 Пусть -- самосопряженное линейное преобразование. Тогда соответствующая квадратичная форма достигает на единичной сфере минимума $\lambda_1$ . Вектор , на котором этот минимум достигается, есть собственный вектор преобразования , а значение минимума $\lambda_1$ -- соответствующее собственное значение этого преобразования.

Доказательство. Единичная сфера есть ограниченное замкнутое множество в -мерном пространстве. Поэтому , как непрерывная на нем функция, достигает минимума в некоторой точке . Обозначим этот минимум через $\lambda_1$ . Тогда имеем

$\displaystyle (Ax,x)\geqslant\lambda_1,$ если $\displaystyle \quad(x,x)=1,$

(1)

причем

$\displaystyle (Ae_1,e_1)=\lambda_1,$ где $\displaystyle \quad(e_1,e_1)=1.$

Запишем неравенство (1) в виде

$\displaystyle (Ax,x)\geqslant\lambda_1(x,x),$ где $\displaystyle \quad(x,x)=1.$

(2)

Оно справедливо для векторов длины единица. Так как при умножении

на некоторое число $\alpha$ как правая, так и левая части неравенства умножаются на $\alpha^2$ , то оно справедливо для векторов любой длины (поскольку любой вектор можно получить из вектора длины единица умножением его на некоторое число $\alpha$ ).

Полученное неравенство можно переписать так:

$\displaystyle (Ax\!-\!\lambda_1x, x)\geqslant0$ для любых $\displaystyle \quad x,$

причем для

имеет место

$\displaystyle (Ae_1\!-\!\lambda_1e_1, e_1)=0.$

Это значит, что преобразование $B=A-\lambda_1E$ удовлетворяет условиям леммы 1. Отсюда, применяя эту лемму, получаем:

$\displaystyle (A-\lambda_1E)e_1=0,$ т. е. $\displaystyle \quad Ae_1=\lambda_1e_1.$

Таким образом, является собственным вектором преобразования , соответствующим собственному значению $\lambda_1$ . Теорема доказана. $\qedsymbol$

Для нахождения следующего собственного значения рассмотрим все векторы из , ортогональные к собственному вектору . Как было показано в п.2 §16 (лемма 2), эти векторы образуют -мерное подпространство , инвариантное относительно преобразования .

Отыскивая минимум квадратичной формы , при условии , в этом подпространстве мы придем к новому собственному вектору и собственному значению $\lambda_2$ .

Очевидно, что $\lambda_2\geqslant\lambda_1$ , так как минимум во всем пространстве не может быть больше, чем минимум той же функции в подпространстве.

Следующий собственный вектор мы получим, решая ту же задачу в -мерном инвариантном подпространстве, состоящем из векторов, ортогональных и и . Значение минимума в этом подпространстве будет третьим собственным значением.

Продолжая этот процесс, мы исчерпаем все собственных значений и соответствующих им собственных векторов нашего преобразования.

Иногда бывает полезно определить второй, третий и т.д. собственные векторы преобразования из задачи на максимум или минимум непосредственно, не считая при этом известными предыдущие собственные векторы.

Пусть -- самосопряженное линейное преобразование. Обозначим через

$\displaystyle \lambda_1\leqslant\lambda_2 \leqslant\dots\leqslant\lambda_n$

его собственные значения, расположенные в возрастающем порядке, а через $e_1,e_2,\dots,e_n$ -- соответствующие им нормированные и ортогональные собственные векторы.

Покажем, что если мы возьмем первые собственных векторов

$\displaystyle e_1,e_2,\dots,e_k$
и порожденное ими подпространство , то для любого вектора из имеет место неравенство

$\displaystyle \lambda_1(x,x)\leqslant(Ax,x)\leqslant\lambda_k(x,x).$

Действительно, пусть

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ke_k.$

Так как $Ae_k=\lambda_ke_k$ ,

при $i\ne k$ , то

$\begin{displaymath} \begin{aligned} (Ax,x) &=(A(\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ke_... ...\xi_1^2+\lambda_2\xi_2^2+\ldots+\lambda_k\xi_k^2. \end{aligned}\end{displaymath}$

Кроме того, так как векторы $e_1, e_2, \dots, e_k$ ортогональны и нормированы, то

$\displaystyle (x,x)=\xi_1^2+\xi_2^2+\ldots+\xi_k^2$

и, следовательно,

$\displaystyle (Ax,x)=\lambda_1\xi_1^2+\lambda_2\xi_2^2+ \ldots+\lambda_k\xi_k^2\geqslant \lambda_1(\xi_1^2+\xi_2^2+\ldots+\xi_k^2)=\lambda_1(x,x).$

Аналогично

$\displaystyle (Ax,x)\leqslant\lambda_k(x,x)$

и, следовательно,

$\displaystyle \lambda_1(x,x)\leqslant(Ax,x)\leqslant\lambda_k(x,x).$

Пусть теперь -- произвольное подпространство измерений. В §7 (лемма п.1) мы доказали, что если сумма размерностей двух подпространств -мерного пространства превышает , то существует отличный от нуля вектор, принадлежащий обоим подпространствам. Следовательно, так как , то существует вектор , принадлежащий как , так и подпространству , порожденному векторами $e_1, e_2, \dots, e_k$ . Мы можем считать, что длина его равна 1, т.е. что . Так как всюду в , как мы уже доказали, $(Ax,x)\leqslant\lambda_k(x,x)$ , то $(Ax_0,x_0)\leqslant\lambda_k$ .

Итак, мы доказали, что в существует вектор длины 1 такой, что

$\displaystyle (Ax_0,x_0)\leqslant\lambda_k.$

Но тогда и подавно, минимум

, где

пробегает все векторы длины 1 из

, также меньше или равен $\lambda_k$ .

Таким образом, для любого -мерного подпространства

$\displaystyle \min(Ax,x)\leqslant\lambda_k,$
где и $x\in R_k$ .

Заметим, что среди подпространств размерности есть такое, для которого $\min(Ax,x)$ , $x\in R_k$ , , в точности равен $\lambda_k$ . Таким подпространством является подпространство, состоящее из векторов, ортогональных первым собственным векторам $e_1, e_2, \dots, e_{k-1}$ . Действительно, в этом параграфе мы доказали, что $\min\limits_{(x,x)=1} (Ax,x)$ , распространенный по всем векторам, ортогональным первым собственным векторам, равен $\lambda_k$ .

Итак, мы доказали следующее утверждение:

Пусть -- некоторое -мерное подпространство пространства . Тогда минимум для всех из таких, что , меньше или равен $\lambda_k$ . Подпространство можно выбрать так, чтобы этот минимум равнялся $\lambda_k$ .

Это утверждение можно записать следующей формулой:

$\displaystyle \max\limits_{R_k}\min\limits_{\begin{subarray}c(x,x)=1 x\in R_k\end{subarray}} (Ax,x)=\lambda_k.$

(3)

В этой формуле $\min$ берется по указанным векторам, а $\max$ по всевозможным подпространствам размерности .

Из доказанной теоремы следует:

Пусть -- самосопряженное линейное преобразование, а -- положительно определенное линейное преобразование. Пусть $\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n$ -- собственные значения , а $\mu_1\leqslant\mu_2\leqslant \ldots\leqslant\mu_n$ -- собственные значения ; тогда $\lambda_k\leqslant\mu_k$ .

Действительно, всюду

$\displaystyle (Ax,x)\leqslant((A+B)x,x).$

Следовательно, в любом -мерном подпространстве имеет место неравенство:

$\displaystyle \min\limits_{\begin{subarray}c(x,x)=1 x\in R_k\end{subarray}} (... ...eq \min\limits_{\begin{subarray}c(x,x)=1 x\in R_k\end{subarray}} ((A+B)x,x).$

Значит, максимум левой части по всевозможным подпространствам не превосходит максимума правой части. Так как в силу формулы максимум левой части равен $\lambda_k$ , а максимум правой равен $\mu_k$ , то $\lambda_k\leqslant\mu_k$ , что и требовалось доказать.