Next: 15 разложение линейного преобразования
Previous: 13 унитарные преобразования
Subsections
[section] Рассматривается линейное пространство над полем
комплексных числел.
Мы видели (§12), что для всякого самосопряженного линейного
преобразования есть свой ортогональный нормированный базис, в котором
его матрица диагональна. Может оказаться что для нескольких
самосопряженных преобразований существует один общий базис, в котором
матрицы всех этих преобразований диагональны. Мы выясним здесь, при
каких условиях это возможно. Разберем в первую очередь случай двух
преобразований.
Лемма 14.1
Пусть и -- два перестановочных линейных преобразования, т.е.
Тогда совокупность всех собственных векторов преобразования ,
отвечающих данному собственному значению , образует
(вместе с нулевым вектором) подпространство
, инвариантное относительно преобразования .
Доказательство. Нам нужно показать, что если
т.е.
то и
т.е.
Но так как , то
и лемма доказана.
Лемма 14.2
Любые два перестановочных преобразования имеют общий собственный
вектор.
Доказательство. Пусть и -- подпространство, состоящее из всех
таких векторов , что
, где -- собственное
значение преобразования . Согласно лемме 1, инвариантно
относительно . Поэтому в нем существует вектор , собственный
для . Этот вектор является собственным и для , так как все
векторы из являются собственными для .
Замечание
Если , то, вообще говоря, не всякий вектор, собственный для
, является собственным и для . Например, если есть
единичное преобразование , то для него любой вектор является
собственным. Однако вовсе не будет собственным вектором для любого
перестановочного с преобразования, так как с перестановочны
все линейные преобразования.
Теорема 14.1
Пусть и -- два самосопряженных линейных
преобразования в комплексном -мерном пространстве . Для того
чтобы в существовал ортогональный базис, в котором преобразования
и одновременно приводятся к диагональной форме, необходимо и
достаточно, чтобы они были перестановочны (т.е. ).
Доказательство. Достаточность. Пусть . Тогда, в
силу леммы 2, существует вектор , собственный и для , и
для , т.е. такой, что
-мерное подпространство , ортогональное к ,
инвариантно как для , так и для (см. лемму 2 §12). Будем
рассматривать преобразования и лишь в . Согласно
лемме 2 в существует вектор , собственный и для , и
для :
Совокупность векторов из , ортогональных к , образует
-мерное пространство, инвариантное как относительно , так и
относительно , и т.д. Продолжая этот процесс, мы получим
попарно ортогональных векторов
, собственных как
для , так и для :
Примем векторы
за базис в . Тогда
оба преобразования и запишутся в диагональной форме.
Достаточность условия доказана.
Необходимость. Пусть в некотором ортогональном базисе
матрицы преобразований и диагональны. Любые диагональные
матрицы, как это легко проверить, перестановочны между собой. Но
если матрицы преобразований в некотором базисе перестановочны, то
перестановочны и сами преобразования.
Упражнение
Пусть и -- перестановочные унитарные
преобразования. Доказать, что существует базис, в котором они
одновременно записываются в диагональной форме.
Замечание
Теорема 1 переносится на любое множество попарно перестановочных
самосопряженных преобразований. Доказательство повторяется дословно,
только вместо леммы 2 используется следующая
Лемма 2'
У любого множества попарно перестановочный
линейных преобразований есть общий собственный вектор.
Доказательство будем вести по индукции. В одномерном пространстве () лемма
очевидна. Предположим, что для пространств размерности лемма
доказана и докажем ее для -мерного пространства.
Если каждый вектор из является собственным для каждого из
рассматриваемых преобразований 3.9
, то все доказано. Предположим поэтому, что хотя бы
один вектор не является собственным для какого-либо из наших
преобразований, например для .
Обозначим через совокупность всех собственных векторов
преобразования , отвечающих какому-нибудь собственному значению
. Согласно лемме 1, инвариантно относительно
(и, само собой разумеется, инвариантно
относительно ). При этом есть подпространство, отличное от
нулевого и от всего и имеющее, следовательно, размерность
. Так как по предположению для пространств размерности,
меньшей чем , теорема доказана, то в преобразования
имеют общий собственный вектор, и лемма доказана.
В §§ 12 и 13 мы ознакомились с двумя классами линейных
преобразований, приводимыx в некотором нормированном ортогональном
базисе к диагональной форме. Сейчас мы выясним, каков общий вид всех
таких преобразований.
Теорема 14.2
Для того чтобы существовал ортогональный базис, в
котором линейное преобразование приводится к диагональной
форме, необходимо и достаточно, чтобы
(Такие преобразования мы назвали в § нормальными.)
Доказательство. Необходимость. Пусть в некотором ортогональном нормированном
базисе матрица преобразования диагональна, т.е. имеет вид
Так как базис ортогональный и нормированный, то матрица
преобразования имеет вид
Матрицы преобразований и диагональны и, значит,
перестановочны между собой. Следовательно, перестановочны и сами
преобразования и .
Достаточность.
Пусть и перестановочны. Тогда,
согласно лемме 2 этого параграфа, у и существует общий
собственный вектор , т.е.
-мерное подпространство , состоящее из векторов,
ортогональных к , инвариантно как относительно , так и
относительно . Действительно, пусть , т.е.
. Тогда
т.е. . Инвариантность относительно доказана.
Аналогично доказывается инвариантность относительно .
Применяя к ту же лемму 2, получим, что в существует
вектор , собственный одновременно и для , и для .
Через обозначим -мерное подпространство, состоящее
из векторов подпространства , ортогональных к , и т.д.
Продолжая таким образом, мы построим попарно ортогональных
векторов
, каждый из которых является
собственным как для , так и для . Векторы
образуют ортогональный базис, в котором
как , так и приводятся к диагональной форме.
Другое доказательство достаточности. Положим
Преобразования и -- самосопряженные. Если и
перестановочны, то и также перестановочны. В силу теоремы
1 настоящего параграфа преобразования и могут быть
одновременно приведены к диагональной форме. Но тогда и
также записывается в диагональной форме.
Если -- самосопряженное преобразование, то
т.е. нормально. Нормальным является также
всякое унитарное преобразование, так как в этом случае
. Поэтому теорема 2 этого параграфа содержит как частный
случай результаты §12 (п. 1) и §13.
Упражнения
1. Доказать, что любое множество попарно
перестановочных нормальных преобразований приводится одновременно
к диагональной форме.
2. Доказать, что всякое нормальное преобразование может быть
записано в виде
где -- самосопряженное преобразование, а -- унитарное,
причем и перестановочны.
Указание
Выбрать базис, в котором и приводятся к
диагональной форме.
3. Доказать, что если , где и перестановочны,
-- эрмитово, -- унитарно, то -- нормальное
преобразование.
Next: 15 разложение линейного преобразования
Previous: 13 унитарные преобразования
Vadim Yu. Radionov
2000-08-30
Посмотреть комментарии[2]
|