Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch1node6.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 15:07:44 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 7 закон инерции Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 5 приведение квадратичной формы

Subsections

6 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием

1

В этом параграфе мы укажем еще один способ построения базиса, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов. В отличие от предыдущего параграфа мы дадим формулы, выражающие искомый базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$ непосредственно через исходный базис (а не в несколько шагов, как в  5).

При этом, однако, мы должны будем на форму $ A(x;y)$ и исходный базис $ f_1, f_2, \dots, f_n$ наложить следующее ограничение: пусть $ \Vert a_{ik}\Vert$ -- матрица билинейной формы $ A(x;y)$ в базисе $ f_1, f_2, \dots, f_n$. Мы предположим, что следующие миноры матрицы $ \Vert a_{ik}\Vert$ все отличны от нуля2.18:

\begin{equation*}\arraycolsep3pt \begin{gathered}\Delta_1=a_{11}\ne0;\quad \Delt... ... a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \ne 0. \end{gathered}\end{equation*} (1)

В каждом базисе $ f_1, f_2, \dots, f_n$ квадратичная форма $ A(x;x)$ имеет вид

$\displaystyle A(x,x)=\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\xi_k,$   где$\displaystyle \quad a_{ik}=A(f_i,f_k). $

Наша цель -- определить векторы $ e_1, e_2, \dots, e_n$ так, чтобы

$\displaystyle A(e_i; e_k)=0$   при$\displaystyle \quad i\ne k\quad (i,k=1,2,\dots,n).$ (2)

Процесс, с помощью которого это будет сделано, совпадает с процессом ортогонализации, описанным в п.1  3, если заменить в этом процессе скалярное произведение векторов произвольной билинейной формой $ A(x;y)$, удовлетворяющей условиям (1).

Будем искать векторы $ e_1, e_2, \dots, e_n$ в виде

\begin{equation*}\left. \begin{aligned}e_1&=\alpha_{11}f_1, e_2&=\alpha_{21}f... ...}f_1+\alpha_{n2}f_2+\ldots+\alpha_{nn}f_n. \end{aligned} \right\}\end{equation*}

Коэффициенты $ \alpha_{ik}$ можно было бы найти из условий (2), подставив в эти условия вместо $ e_1, e_2, \dots, e_n$ их выражения из (3). Однако это неудобно для вычислений, так как пришлось бы решать уравнения второй степени относительно $ \alpha_{ik}$. Поступим поэтому несколько иначе.

Если

$\displaystyle A(e_k; f_i)=0$   для$\displaystyle \quad i=1,2,\dots,k-1, $

то и

$\displaystyle A(e_k; e_i)=0$   для$\displaystyle \quad i=1,2,\dots,k-1. $

Действительно, подставляя вместо $ e_i$ выражение

$\displaystyle \alpha_{i1}f_1+\alpha_{i2}f_2+\ldots+\alpha_{ii}f_i, $

получаем:

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(e_k; e_i)&=A(e_k; \alpha_{i1}f_1+\alpha_... ...a_{i2}A(e_k; f_2)+ \ldots+\alpha_{ii}A(e_k; f_i). \end{aligned}\end{displaymath}

Таким образом, если $ A(e_k; f_i)=0$ для любого $ k$ и для любого $ i<k$, то и $ A(e_k; e_i)=0$ для $ i<k$, и следовательно, в силу симметрии билинейной формы и для $ i>k$, т.е. $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- требуемый базис. Наша задача сведена, таким образом, к следующей:

определить коэффициенты $ \alpha_{k1}, \alpha_{k2}, \dots, \alpha_{kk}$ так, чтобы вектор

$\displaystyle e_k=\alpha_{k1}f_1+\alpha_{k2}f_2+\ldots+\alpha_{kk} f_k $

удовлетворял условиям

$\displaystyle A(e_k; f_i)=0,\quad i=1,2,\dots,k-1.$ (4)

Этими условиями вектор $ e_k$ определяется с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель с помощью требования

$\displaystyle A(e_k; f_k)=1.$ (5)

Мы увидим сейчас, что условиями (4) и (5) вектор $ e_k$ определен уже однозначно.

Подставив в (4) и (5) выражение для $ e_k$, мы получим следующую систему уравнений первой степени относительно $ \alpha_{ki}$:

\begin{equation*}\left. \begin{aligned}\alpha_{k1}A(f_1; f_1)+\alpha_{k2}A(f_1; ... ...k; f_2)+\ldots+ \alpha_{kk}A(f_k; f_k)&=1. \end{aligned} \right\}\end{equation*}

Определитель этой системы уравнений равен

$\displaystyle \arraycolsep3pt \Delta_k= \begin{vmatrix}A(f_1; f_1)&A(f_1; f_2)&... ... \hdotsfor[1.5]{4} A(f_k; f_1)&A(f_k; f_2)&\dots&A(f_k; f_k) \end{vmatrix}$ (7)

и по условию (1) отличен от нуля. Поэтому решение системы (6) существует и единственно. Таким образом, задача нахождения вектора $ e_k$ нами решена для любого $ k$.

Найдем теперь коэффициенты $ b_{ik}$ квадратичной формы $ A(x;x)$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$. Как нам уже известно,

$\displaystyle b_{ik}=A(e_i; e_k). $

По построению этого базиса, $ A(e_i; e_k)=0$ при $ i\ne k$, т.е. $ b_{ik}=0$ при $ i\ne k$.

Вычислим $ b_{kk}=A(e_k; e_k)$:

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(e_k; e_k) & =A(e_k; \alpha_{k1}f_1+\alpha... ...ha_{k2}A(e_k; f_2)+ \ldots+\alpha_{kk}A(e_k; f_k) \end{aligned}\end{displaymath}

2.19и в силу условий (4) и (5)

$\displaystyle A(e_k; e_k)=\alpha_{kk}. $

Число $ \alpha_{kk}$ можно найти из системы (6); согласно правилу Крамера

$\displaystyle \alpha_{kk}=\frac{\Delta_{k-1}}{\Delta_k},$

где $ \Delta_{k-1}$ -- определитель, аналогичный (7) порядка $ {k-1}$, и где положено $ \Delta_0=1$.

Таким образом,

$\displaystyle b_{kk}=A(e_k; e_k)=\frac{\Delta_{k-1}}{\Delta_k}. $

Итак, доказана следующая

Теорема 6.1   Пусть в базисе $ f_1, f_2, \dots, f_n$ квадратичная форма имеет вид

$\displaystyle A(x;x)=\sum a_{ik}\eta_i\eta_k,$   где$\displaystyle \quad a_{ik}=A(f_i; f_k). $

Пусть, далее, определители

\begin{displaymath} \arraycolsep3pt \begin{gathered} \Delta_1=a_{11},\quad\Delta... ...]{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix}\end{gathered}\end{displaymath}

отличны от нуля. Тогда существует базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$, в котором $ A(x;x)$ записывается в виде суммы квадратов следующим образом:

$\displaystyle A(x; x)=\frac{\Delta_0}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\ldots+ \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n}\xi_n^2, $

где $ \xi_k$ -- координаты вектора $ x$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$.

Этот способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов обычно называется методом Якоби.

Замечание   В процессе доказательства теоремы мы пришли к некоторому вполне определенному базису $ e_1, e_2, \dots, e_n$. Это, конечно, не означает, что базис, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов, вообще единствен. Действительно, если взять другой исходный базис $ f_1, f_2, \dots, f_n$ (даже просто, если занумеровать его векторы в другом порядке), то описанный выше процесс приведет нас, вообще говоря, к другому базису $ e_1, e_2, \dots, e_n$ (не говоря уже о том, что базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$ не обязательно искать в виде (3)).


Пример 5   Рассмотрим квадратичную форму

$\displaystyle 2\xi_1^2+3\xi_1\xi_2+4\xi_1\xi_3+\xi_2^2+\xi_3^2 $

в трехмерном пространстве с базисом

$\displaystyle f_1=(1,0,0),\quad f_2=(0,1,0),\quad f_3=(0,0,1). $

Соответствующая ей билинейная форма имеет вид

$\displaystyle A(x; y)=2\xi_1\eta_1+\frac{3}{2}\xi_1\eta_2+2\xi_1\eta_3+ \frac{3}{2}\xi_2\eta_1+\xi_2\eta_2+2\xi_3\eta_1+\xi_3\eta_3. $

Вычислив определители $ \Delta_1$, $ \Delta_2$ и $ \Delta_3$, получим, что они равны соответственно $ 2$, $ -\frac{1}{4}$ и $ -4\frac{1}{4}$, т.е. ни один из них не нуль. Условия теоремы, таким образом, выполнены. Положим

\begin{displaymath} \begin{aligned} e_1&=\alpha_{11}f_1&&=(\alpha_{11},0,0), ... ...{33}f_3 &&=(\alpha_{31},\alpha_{32},\alpha_{33}). \end{aligned}\end{displaymath}

Коэффициент $ \alpha_{11}$ находим из условия

$\displaystyle A(e_1; f_1)=1, $

т.е. $ 2\alpha_{11}=1$, или $ \alpha_{11}=\frac{1}{2}$ и, значит,

$\displaystyle e_1=\frac{1}{2}f_1=\left(\frac{1}{2},0,0\right). $

Для $ \alpha_{21}$ и $ \alpha_{22}$ имеем уравнения

$\displaystyle A(e_2; f_1)=0$   и$\displaystyle \quad A(e_2; f_2)=1, $

или

$\displaystyle 2\alpha_{21}+\frac{3}{2}\alpha_{22}=0; \quad\frac{3}{2}\alpha_{21}+\alpha_{22}=1, $

откуда

$\displaystyle \alpha_{21}=6,\quad\alpha_{22}=-8, $

т.е. $ e_2=6f_1-8f_2=(6,-8,0)$.

Наконец, для $ \alpha_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33}$ имеем систему уравнений

$\displaystyle A(e_3; f_1)=0,\quad A(e_3; f_2)=0,\quad A(e_3;f_3)=1, $

т.е.

\begin{displaymath} \begin{aligned} &2\alpha_{31}+\frac{3}{2}\alpha_{32}&{}+2\al... ...ha_{32}&&=0,\\ &2\alpha_{31}&{}+\alpha_{33}&=1, \end{aligned}\end{displaymath}

откуда

$\displaystyle \alpha_{31}=\frac{8}{17};\quad\alpha_{32}=-\frac{12}{17}; \quad\alpha_{33}=\frac{1}{17}, $

т.е.

$\displaystyle e_3=\frac{8}{17}f_1-\frac{12}{17}f_2+\frac{1}{17}f_3= \left(\frac{8}{17},-\frac{12}{17},\frac{1}{17}\right). $

Квадратичная форма в базисе $ e_1, e_2, e_3$ имеет вид

$\displaystyle A(x; x)=\frac{1}{\Delta_1}\zeta_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\ze... ..._2}{\Delta_3}\zeta_3^2= \frac{1}{2}\zeta_1^2-8\zeta_2^2+\frac{1}{17}\zeta_3^2, $

где $ \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3$ -- координаты вектора $ x$ в базисе $ e_1, e_2, e_3$.


2

Выше при доказательстве теоремы 1 мы не только построили базис, в котором данная квадратичная форма записывается как сумма квадратов координат, но и получили вполне определенные выражения для коэффициентов при этих квадратах, а именно:

$\displaystyle \frac{1}{\Delta_1},\ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}, \dots,\ \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n}, $

так что квадратичная форма имеет вид

$\displaystyle \frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\ldots+ \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n}\xi_n^2.$ (8)

Это дает нам возможность найти число положительных и отрицательных коэффициентов при квадратах. Именно, если $ \Delta_{i-1}$ и $ \Delta_{i}$ имеют одинаковые знаки, то коэффициент при $ \xi_i^2$ положителен, если же их знаки различны, то этот коэффициент отрицателен, т.е. число отрицательных коэффициентов при квадратах равно числу перемен знака в ряду

$\displaystyle 1,\Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_n.$

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 6.2   Число отрицательных коэффициентов при квадратах координат в каноническом виде (8) квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей

$\displaystyle 1,\Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_n \footnotemark . $

Пусть, в частности, $ \Delta_1>0$, $ \Delta_2>0$, $ \dots$, $ \Delta_n>0$. Тогда существует базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$, в котором квадратичная форма имеет вид

$\displaystyle A(x; x)=\lambda_1\xi_1^2+\lambda_2\xi_2^2+\ldots+ \lambda_n\xi_n^2, $

причем все $ \lambda_i>0$. Следовательно, $ A(x; x)\geqslant 0$ для всякого $ x$, и притом равенство

$\displaystyle A(x; x)=\sum\lambda_i\xi_i^2=0 $

возможно, лишь если

$\displaystyle \xi_1=\xi_2=\ldots=\xi_n=0.$

Иначе говоря:

Если $ \Delta_1>0$, $ \Delta_2>0$, $ \dots$, $ \Delta_n>0$, то квадратичная форма $ A(x;x)$ -- положительно определенная.

Обратно, пусть $ A(x;x)$ -- положительно определенная квадратичная форма. Покажем, что в этом случае

$\displaystyle \Delta_k>0\quad(k=1,2,\dots,n);$

для этого покажем раньше, что $ \Delta_k\ne0$. Предположим противное, т.е. что

$\displaystyle \arraycolsep3pt \Delta_k= \begin{vmatrix} A(f_1; f_1)&A(f_1; f_2)... ...dotsfor[1.5]{4}\\ A(f_k; f_1)&A(f_k; f_2)&\dots&A(f_k; f_k) \end{vmatrix}=0; $

тогда одна из строк этого определителя есть линейная комбинация остальных, т.е.

$\displaystyle \mu_1A(f_1;f_i)+\mu_2A(f_2; f_i)+\ldots+\mu_kA(f_k; f_i)=0, $

$ i=1,2,\dots,k$, где не все $ \mu_j$ равны нулю. Но тогда

$\displaystyle A(\mu_1f_1+\mu_2f_2+\ldots+\mu_kf_k; f_i)=0 \quad(i=1,2,\dots,k), $

а следовательно,

$\displaystyle A(\mu_1f_1+\mu_2f_2+\ldots+\mu_kf_k; \mu_1f_1+\mu_2f_2+\ldots+\mu_kf_k)=0, $

в то время как

$\displaystyle \mu_1f_1+\mu_2f_2+\ldots+\mu_kf_k\ne 0, $

что противоречит определению положительно определенной квадратичной формы.

Следовательно, согласно теореме 1, $ A(x;x)$ можно привести к виду

$\displaystyle A(x; x)=\lambda_1\xi_1^2+\ldots+\lambda_n\xi_n^2, $

где

$\displaystyle \lambda_k=\frac{\Delta_{k-1}}{\Delta_k}. $

Так как для положительно определенной квадратичной формы все $ \lambda_k>0$, то и все $ \Delta_k>0$. (Напомним, что $ \Delta_0=1$.)

Итак, нами доказана

Теорема 6.3   Пусть $ A(x;y)$ -- симметрическая билинейная форма и $ f_1, f_2, \dots, f_n$ -- базис в $ n$-мерном пространстве $ R$. Для того чтобы квадратичная форма $ A(x;x)$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

$\displaystyle \Delta_1>0,\quad\Delta_2>0,\quad\dots,\quad \Delta_n>0. $

Эта теорема называется условием Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.


Мы могли бы взять вместо $ f_1, f_2, \dots, f_n$ какой-либо другой базис и написать условия положительной определенности формы $ A(x;x)$ через векторы этого нового базиса. В частности, если мы в качестве нового базиса возьмем те же самые векторы $ f_1, f_2, \dots, f_n$, но только в другом порядке, то новыми минорами $ \Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n$ будут различные главные миноры 2.21матрицы $ \Vert a_{ik}\Vert$. Отсюда вытекает интересное

Следствие   Если все главные миноры $ \Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n$ матрицы $ \Vert a_{ik}\Vert$ квадратичной формы $ A(x;x)$ в данном базисе положительны, то вообще все главные миноры этой матрицы положительны.

В самом деле, если все миноры $ \Delta_k$ матрицы $ \Vert a_{ik}\Vert$ положительны, то форма $ A(x;x)$ положительно определенная. Пусть $ \Delta$ -- какой-либо главный минор матрицы $ \Vert a_{ik}\Vert$ и пусть $ p_1, p_2, \dots, p_k$ -- номера входящих в него строк и столбцов этой матрицы (так как минор -- главный, то эти номера для строк и столбцов одни и те же). Переставив в исходном базисе векторы с номерами $ p_1, p_2, \dots, p_k$ на первое, второе и т.д., $ k$-е место и записав в этом новом базисе условия положительной определенности формы, получим $ \Delta>0$.


3 Определители Грама.

Результаты этого параграфа мы изложим сейчас для случая, когда в качестве квадратичной формы выбрано скалярное произведение в евклидовом пространстве, т.е.

$\displaystyle A(x; x)\equiv(x,x). $

Мы знаем, что скалярное произведение вектора с собой есть положительно определенная квадратичная форма, и обратно, каждая симметрическая билинейная форма, которой соответствует положительно определенная квадратичная форма, может быть принята за скалярное произведение. Поэтому всякая теорема о положительно определенных квадратичных формах является одновременно некоторой теоремой о векторах в евклидовом пространстве.

Пусть $ e_1,e_2, \dots, e_k$ -- векторы в евклидовом пространстве.

Определитель

$\displaystyle \arraycolsep2pt \begin{vmatrix} (e_1,e_1)&(e_1,e_2)&\dots&(e_1,e_... ..._k)\\ \hdotsfor[1.5]{4}\\ (e_k,e_1)&(e_k,e_2)&\dots&(e_k,e_k) \end{vmatrix}$

называется определителем Грама этой системы векторов.

Теорема 6.4   Определитель Грама любой системы векторов всегда больше или равен нулю. Он равен нулю тогда и только тогда, когда векторы $ e_1,e_2, \dots, e_k$ линейно зависимы.

Доказательство. Пусть векторы $ e_1,e_2, \dots, e_k$ линейно независимы. Рассмотрим билинейную форму

$\displaystyle A(x; y)\equiv(x,y), $

где $ (x,y)$ -- скалярное произведение векторов $ x$ и $ y$. Тогда определитель Грама есть определитель $ \Delta_k$, рассмотренный в этом параграфе [см. формулу (7)]. Так как $ A(x;x)$ -- положительно определенная квадратичная форма, то, в силу теоремы 3, $ \Delta_k>0$.

Докажем, что в случае линейно зависимых векторов определитель Грама равен нулю. Действительно, если $ e_1,e_2, \dots, e_k$ линейно зависимы, то хоть один из них, например $ e_k$, есть линейная комбинация остальных:

$\displaystyle e_k=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\ldots+\lambda_{k-1}e_{k-1}. $

Поэтому последняя строка в определителе Грама есть линейная комбинация остальных. Значит, он равен нулю. Теорема полностью доказана.\qedsymbol

В качестве примера рассмотрим определитель Грама двух векторов $ x$ и $ y$:

$\displaystyle \arraycolsep2pt \Delta_2= \begin{vmatrix} (x,x)&(x,y) (y,x)&(y,y) \end{vmatrix}. $

Утверждение, что $ \Delta_2\geq 0$, превращается в этом случае в неравенство Коши-Буняковского.


Примеры   1. В евклидовом трехмерном пространстве (или на плоскости) определитель

$\displaystyle \arraycolsep2pt \Delta_2= \begin{vmatrix} (x,x)&(x,y) (y,x)&(y,y) \end{vmatrix}$

имеет следующий геометрический смысл: $ \Delta_2$ равно квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах $ x$ и $ y$. В самом деле, по определению скалярного произведения

$\displaystyle (x,y)=(y,x)=\vert x\vert \vert y\vert\cos{\phi}, $

где $ \phi$ -- угол между векторами $ x$ и $ y$. Поэтому

$\displaystyle \Delta_2=\vert x\vert^2\vert y\vert^2-\vert x\vert^2\vert y\vert^... ...ert^2\vert y\vert^2(1-\cos^2{\phi})= \vert x\vert^2\vert y\vert^2\sin^2{\phi}, $

т.е. $ \Delta_2$ равно квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах $ x$ и $ y$.

2. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда, построенного на векторах $ x, y, z$, как показывается в аналитической геометрии, равен абсолютной величине определителя

$\displaystyle \arraycolsep2pt v= \begin{vmatrix} x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ z_1&z_2&z_3 \end{vmatrix},$

где $ x_i, y_i, z_i$ -- координаты векторов $ x, y, z$ в ортогональном базисе. Вычислим квадрат этого определителя, умножая строки на строки. Мы получим:

$\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.2}v^2= \begin{vmatrix} x_1^2{+}x_... ...} (x,x)&(x,y)&(x,z)\\ (y,x)&(y,y)&(y,z)\\ (z,x)&(z,y)&(z,z) \end{vmatrix}. $

Таким образом, определитель Грама векторов $ x, y, z$ равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Аналогично можно показать, что определитель Грама $ k$ векторов $ x, y, \dots, w$ в $ k$-мерном пространстве 2.22равен квадрату определителя

$\displaystyle \arraycolsep2pt \begin{vmatrix}x_1&x_2&\dots&x_k y_1&y_2&\dots&y_k \hdotsfor{4} w_1&w_2&\dots&w_k \end{vmatrix},$ (9)

где $ x_i$, соответственно $ y_i$ и т.д. -- координаты вектора $ x$, соответственно $ y$ и т.д. в каком-нибудь ортогональном базисе.

По аналогии с трехмерным пространством модуль определителя (9) называют объемом $ k$-мерного параллелепипеда, определяемого векторами $ x, y, \dots, w$.

3. В пространстве функций (пример 4  2) определитель Грама пишется так:

$\displaystyle \Delta= \left\vert\lmatrix \int\limits_a^bf_1^2(t) dt&\int\limit... ...bf_k(t)f_2(t) dt& \dots&\int\limits_a^bf_k^2(t) dt \endlmatrix\right\vert, $

и доказанная нами теорема означает:

Определитель Грама системы функций $ \geqslant 0$. Для линейной зависимости системы функций необходимо и достаточно, чтобы их определитель Грама был равен нулю.


next up previous contents index
Next: 7 закон инерции Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 5 приведение квадратичной формы Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования