Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch1node4.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 15:07:42 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 5 приведение квадратичной формы Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 3 изоморфизм евклидовых пространств

Subsections

4 Билинейные и квадратичные формы

В этом параграфе мы будем опять заниматься аффинным пространством, а именно, будем изучать простейшие числовые функции от векторов в аффинном пространстве.

1 Линейная функция.

Простейшей функцией в аффинном пространстве является линейная функция.

Определение 4.1   Говорят, что в аффинном пространстве задана линейная функция (линейная форма), если каждому вектору $ x$ поставлено в соответствие число $ f(x)$, так что при этом выполнены условия:

1$ ^{\circ}$ $ f(x+y)=f(x)+f(y)$.

2$ ^{\circ}$ $ f(\lambda x)=\lambda f(x)$.

Выберем в $ n$-мерном пространстве произвольный базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$. Так как каждый вектор $ x$ можно представить в виде

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n,$

то в силу свойств линейной функции имеем:

\begin{displaymath} \begin{aligned} f(x)&=f(\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n)=\\ &=\xi_1f(e_1)+\xi_2f(e_2)+\ldots+\xi_nf(e_n). \end{aligned}\end{displaymath}

Итак: в $ n$-мерном пространстве с заданным базисом линейная функция может быть представлена в виде

$\displaystyle f(x)=a_1\xi_1+a_2\xi_2+\ldots+a_n\xi_n,$ (1)

где $ a_i=f(e_i)$ -- постоянные, зависящие лишь от выбора базиса, а $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ -- координаты вектора в этом базисе.

Таким образом, данное выше определение линейной функции совпадает, по существу, с принятым в алгебре определением линейной функции (линейной формы); надо лишь иметь в виду, что в нашем случае коэффициенты зависят от выбора базиса.

Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим.

Пусть $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ -- два базиса в $ R$. Пусть, далее, векторы $ e'_i$ выражаются через базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$ формулами

\begin{displaymath} \begin{aligned} e'_1&=\alpha_{11}e_1+\alpha_{21}e_2+\ldots+\... ...pha_{1n}e_1+\alpha_{2n}e_2+\ldots+\alpha_{nn}e_n. \end{aligned}\end{displaymath}

Пусть в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ линейная функция выражается формулой

$\displaystyle f(x)=a_1\xi_1+a_2\xi_2+\ldots+a_n\xi_n,$

а в базисе $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ -- формулой

$\displaystyle f(x)=a'_1\xi'_1+a'_2\xi'_2+\ldots+a'_n\xi'_n. $

Так как $ a_i=f(e_i)$, а $ a'_k=f(e'_k)$, то

\begin{displaymath} \begin{aligned} a'_k&=f(\alpha_{1k}e_1+\alpha_{2k}e_2+\ldots... ...pha_{1k}a_1+\alpha_{2k}a_2+\ldots+\alpha_{nk}a_n. \end{aligned}\end{displaymath}

Мы видим, следовательно, что коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так же, как векторы базиса (или, как иногда говорят, когредиентно векторам базиса).

Пример 1   1. В пространстве, векторами которого являются непрерывные функции $ \phi(t)$, заданные на отрезке $ [a,b]$, рассмотрим функцию $ f(\phi)$, заданную формулой

$\displaystyle f(\phi)=\int\limits_a^b\phi(t) dt. $

Эта функция линейна, так как выполняются условия 1$ ^\circ$ и 2$ ^\circ$.

Действительно, первое из них означает, что интеграл суммы равен сумме интегралов, а второе означает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Пример 2   2. В том же пространстве рассмотрим функцию $ f(\phi)$, определенную следующим образом. Выберем на отрезке $ [a,b]$ некоторое значение $ t=t_0$ и положим

$\displaystyle f(\phi)=\phi(t_0).$

Проверьте, что эта функция $ f(\phi)$ также линейна.

2 Билинейные формы.

Существенную роль в дальнейшем будут играть билинейные и квадратичные функции (формы).

Определение 4.2   Мы говорим, что $ A(x;y)$ есть билинейная функция (билинейная форма) от векторов $ x$ и $ y$, если:

1$ ^\circ$ при фиксированном $ y$ $ A(x;y)$ есть линейная функция от $ x$,

2$ ^\circ$ при фиксированном $ x$ $ A(x;y)$ есть линейная функция от $ y$.

Иными словами, в силу определения линейной функции условия 1$ ^\circ$ и 2$ ^\circ$ означают соответственно

\begin{displaymath} \begin{aligned} 1^\circ\qquad && A(x_1+x_2; y)&=A(x_1; y)+A(... ... y_1)+A(x; y_2),\\ && A(x; \mu y)&=\mu A(x; y). \end{aligned}\end{displaymath}

Примеры   1. Рассмотрим $ n$-мерное пространство, в котором вектор есть совокупность $ n$ чисел. Положим

\begin{displaymath}\begin{aligned}A(x; y)&=a_{11}\xi_1\eta_1+a_{12}\xi_1\eta_2+\... ...eta_1+a_{n2}\xi_n\eta_2+\ldots+a_{nn}\xi_n\eta_n, \end{aligned}\end{displaymath}

где $ x$ есть вектор $ (\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$, а $ y$ -- вектор $ (\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_n)$. Формула (2) определяет билинейную функцию. В самом деле, если зафиксировать $ y$, т.е. считать $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ постоянными, то $ \sum\limits_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\eta_k$ зависит от $ \xi_i$ линейно, т.е. есть линейная функция от $ x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$, а при постоянных $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ форма $ A(x;y)$ -- линейная функция от $ y$.

2. В пространстве, в котором векторами являются непрерывные функции $ f(t)$, рассмотрим следующий пример билинейной функции. Пусть $ K(s,t)$ -- некоторая непрерывная функция переменных $ s$ и $ t$. Положим

$\displaystyle A(f; g)= \HTMLcode[HREF=''\char93 двойной_интеграл'']{A}{\textcolor{green}{\int\limits_a^b\int\limits_a^bK(s,t)f(s)g(t) ds dt.}} $

$ A(f; g)$ есть билинейная функция векторов $ f$ и $ g$.

Действительно, условия 1$ ^\circ$ и 2$ ^\circ$ проверяются так же, как и в примере 1 предыдущего пункта.

Если $ K(s,t)\equiv1$, то

$\displaystyle A(f; g)=\int\limits_a^b\int\limits_a^bf(s)g(t) ds dt= \int\limits_a^bf(s) ds \int\limits_a^bg(t) dt, $

т.е. $ A(f,g)$ есть произведение линейных функций $ \displaystyle\int\limits_a^bf(s) ds$ и $ \displaystyle\int\limits_a^bg(t) dt$.


Упражнение   Показать, что если $ f(x)$ и $ g(y)$ -- линейные функции, то их произведение $ f(x)\cdot g(y)$ есть билинейная функция.


Определение 4.3   Билинейная функция (форма) называется симметрической, если для любых векторов $ x$ и $ y$ имеет место равенство

$\displaystyle A(x; y)=A(y; x). $

В приведенном выше примере 1 определенная формулой (2) билинейная форма $ A(x;y)$ симметрична тогда и только тогда, когда $ a_{ik}=a_{ki}$ для любых $ i$ и $ k$.

Скалярное произведение $ (x,y)$ в евклидовом пространстве является примером симметрической билинейной формы.

В самом деле, аксиомы 1$ ^\circ$, 2$ ^\circ$, 3$ ^\circ$ скалярного произведения ( 2) как раз и означают, что скалярное произведение есть симметрическая билинейная форма.

3 Матрица билинейной формы.

Мы определили билинейную форму аксиоматически. Выберем теперь в $ n$-мерном пространстве какой-либо базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и выразим билинейную форму $ A(x;y)$ через координаты $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ и $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ векторов $ x$ и $ y$ в этом базисе. Мы имеем:

$\displaystyle A(x; y)=A(\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n;\ \eta_1e_1+\eta_2e_2+\ldots+\eta_ne_n). $

В силу свойств 1$ ^\circ$ и 2$ ^\circ$ билинейной формы

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(&\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n;\ \eta... ..._n\eta_2A(e_n;e_2) +\ldots+\xi_n\eta_nA(e_n;e_n), \end{aligned}\end{displaymath}

или, короче

$\displaystyle A(x,y)=\sum_{i,k=1}^n A(e_i;e_k)\xi_i\eta_k. $

Обозначим постоянные $ A(e_i; e_k)$ через $ a_{ik}$. Тогда имеем:

при заданном базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ всякая билинейная форма в $ n$-мерном пространстве может быть записана в виде

$\displaystyle A(x;y)=\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\eta_k,$ (3)

где $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ -- координаты вектора $ x$, а $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ -- координаты вектора $ y$ в данном базисе. Числа $ a_{ik}$ зависят от выбора базиса и вычисляются по формулам

$\displaystyle a_{ik}=A(e_i; e_k).$ (4)

Матрица $ \boldsymbol{A}=\Vert a_{ik}\Vert$ называется матрицей билинейной формы $ A(x;y)$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$.

Таким образом, в каждом базисе билинейная форма $ A(x;y)$ определяется своей матрицей $ \boldsymbol{A}=\Vert a_{ik}\Vert$.


Пример 3   Пусть $ R$ -- трехмерное пространство, векторами которого являются тройки чисел $ (\xi_1,\xi_2,\xi_3)$. Зададим в $ R$ билинейную форму $ A(x;y)$ формулой

$\displaystyle A(x; y)=\xi_1\eta_1+2\xi_2\eta_2+3\xi_3\eta_3. $

Возьмем в $ R$ в качестве базиса три вектора

$\displaystyle e_1=(1,1,1);\quad e_2=(1,1,-1); \quad e_3=(1,-1,-1). $

Найдем матрицу $ \boldsymbol{A}$ билинейной формы $ A(x;y)$ в этом базисе. В силу (4) получим:

\begin{displaymath} \begin{aligned} a_{11}&=1\cdot1+2\cdot1\cdot1+3\cdot1\cdot1=... ...\cdot1+2\cdot(-1)\cdot(-1)+3\cdot(-1)\cdot(-1)=6, \end{aligned}\end{displaymath}

т.е.

$\displaystyle% \providecommand{\m}{\hphantom{-}}\arraycolsep2pt \boldsymbol{A}=... ...0\hphantom{-}&6&\hphantom{-}2 -4\hphantom{-}&2&\hphantom{-}6 \end{pmatrix}. $

Таким образом, если обозначить через $ (\xi'_1, \xi'_2, \xi'_3$) и $ \eta'_1, \eta'_2, \eta'_3$ координаты векторов $ x$ и $ y$ в базисе $ e_1, e_2, e_3$, то

$\displaystyle A(x; y)=6\xi'_1\eta'_1-4\xi'_1\eta'_3+6\xi'_2\eta'_2+ 2\xi'_2\eta'_3-4\xi'_3\eta'_1 +2\xi'_3\eta'_2+6\xi'_3\eta'_3. $


4 Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Пусть даны в $ n$-мерном пространстве два базиса: $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f_1, f_2, \dots, f_n$. Пусть векторы $ f_1, f_2, \dots, f_n$ выражаются через векторы базиса $ e_1, e_2, \dots, e_n$ формулами

\begin{equation*}\left. \begin{aligned}f_1&=c_{11}e_1+c_{21}e_2+\ldots+c_{n1}e_n... ...f_n&=c_{1n}e_1+c_{2n}e_2+\ldots+c_{nn}e_n. \end{aligned} \right\}\end{equation*}

Таким образом, $ c_{1k}, c_{2k}, \dots, c_{nk}$ -- координаты вектора $ f_k$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$. Матрицу

$\displaystyle \arraycolsep3pt \boldsymbol{C}= \begin{pmatrix} c_{11}&c_{12}&\do... ...\dots&c_{2n}\\ \hdotsfor[1.5]{4}\\ c_{n1}&c_{n2}&\dots&c_{nn} \end{pmatrix}$

назовем матрицей перехода от базиса $ e_1, e_2, \dots, e_n$ к базису $ f_1, f_2, \dots, f_n$.

Пусть $ \boldsymbol{A}=\Vert a_{ik}\Vert$ есть матрица билинейной формы $ A(x;y)$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$, а $ \boldsymbol{B}=\Vert b_{ik}\Vert$ -- матрица той же билинейной формы в базисе $ f_1, f_2, \dots, f_n$. Наша задача состоит в том, чтобы по матрице $ \Vert a_{ik}\Vert$ найти матрицу $ \Vert b_{ik}\Vert$.

По определению [формула (4)] $ b_{pq}=A(f_p; f_q)$, т.е. $ b_{pq}$ -- значение билинейной формы $ A(x;y)$ при $ x=f_p$, $ y=f_q$; для того чтобы найти его, воспользуемся формулой (3), подставив в нее вместо $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ и $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ координаты векторов $ f_p$ и $ f_q$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$, т.е. числа $ c_{1p}, c_{2p}, \dots, c_{np}$ и $ c_{1q}, c_{2q}, \dots, c_{nq}$. Получим:

$\displaystyle b_{pq}=A(f_p; f_q)=\sum_{i,k=1}^n a_{ik}c_{ip}c_{kq}.$ (6)

Это есть искомая формула.

Запишем ее в матричной форме. Для этого положим $ c'_{pi}=c_{ip}$; таким образом, $ c'_{pi}$ являются элементами
матрицы $ \boldsymbol{C}'$, транспонированной к матрице $ \boldsymbol{C}$. Тогда

$\displaystyle b_{pq}=\sum_{i,k=1}^n c'_{pi}a_{ik}c_{kq}. $

В матричной форме это означает 2.13:

$\displaystyle \boldsymbol{ B}=\boldsymbol{C}'\boldsymbol{AC}.$ (7)

Итак: если $ \boldsymbol{A}$ и $ \boldsymbol{B}$ суть матрицы билинейной формы $ A(x;y)$ соответственно в базисах $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f_1, f_2, \dots, f_n$, то $ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}'\boldsymbol{AC}$, где $ \boldsymbol{C}$ -- матрица перехода от базиса $ e_1, e_2, \dots, e_n$ к базису $ f_1, f_2, \dots, f_n$, а $ \boldsymbol{C}'$ -- матрица, транспонированная к матрице $ \boldsymbol{C}$.

5 Квадратичные формы.

Определение 4.4   Пусть $ A(x;y)$ -- симметрическая билинейная форма. Функция $ A(x;x)$, которая получается из $ A(x;y)$, если положить $ y=x$, называется квадратичной формой.

$ A(x;y)$ называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме $ A(x;x)$.

Требование симметричности формы $ A(x;y)$ в определении квадратичной формы оправдывается следующим предложением, которое без этого было бы неверно.

Полярная форма $ A(x;y)$ однозначно определяется своей квадратичной формой $ A(x;x)$.

Доказательство. Из определения билинейной формы легко следует, что

$\displaystyle A(x+y; x+y)=A(x; x)+A(x; y)+A(y; x)+A(y; y). $

Отсюда в силу симметрии (т.е. равенства $ A(x; y)=A(y; x)$) получаем:

$\displaystyle A(x; y)=\frac{1}{2}[A(x+y; x+y)-A(x; x)-A(y; y)]. $

В правой части этого равенства стоят значения квадратичной формы; следовательно, мы доказали, что билинейная форма $ A(x;y)$ определяется своей квадратичной формой 2.14.\qedsymbol

Выше мы уже доказали, что всякая симметрическая билинейная форма $ A(x;y)$ записывается через координаты векторов $ x$ и $ y$ в виде

$\displaystyle A(x;y)=\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\eta_k,$

где $ a_{ik}=a_{ki}$. Поэтому:

всякая квадратичная форма $ A(x;x)$ при заданном базисе выражается формулой

$\displaystyle A(x;x)=\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\xi_k, $

где $ a_{ik}=a_{ki}$. Введем еще одно важное

Определение 4.5   Квадратичная форма $ A(x;x)$ называется положительно определенной, если для любого вектора $ x\ne 0$

$\displaystyle A(x; x)>0. $

Пример 4   $ A(x; x)=\xi_1^2+\xi_2^2+\ldots+\xi_n^2$ является, очевидно, положительно определенной квадратичной формой.

Пусть $ A(x;x)$ -- положительно определенная квадратичная форма и $ A(x;y)$ -- ее полярная форма. В силу сформулированных выше определений это означает:

1$ ^\circ$  $ A(x; y)=A(y; x)$.

2$ ^\circ$  $ A(x_1+x_2; y)=A(x_1; y)+A(x_2; y)$.

3$ ^\circ$  $ A(\lambda x; y)=\lambda A(x; y)$.

4$ ^\circ$  $ A(x; x)\geqslant 0$ и $ A(x; x)>0$ при $ x\ne 0$.

Мы видим, что эти условия совпадают с аксиомами скалярного произведения, сформулированными в  2. Следовательно, скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.

Поэтому мы можем определить евклидово пространство следующим образом.

Евклидовым пространством называется аффинное пространство, в котором выбрана какая-нибудь фиксированная положительно определенная квадратичная форма $ A(x;x)$. Значение $ A(x;y)$ соответствующей 2.15ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением2.16векторов $ x$ и $ y$.

next up previous contents index
Next: 5 приведение квадратичной формы Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 3 изоморфизм евклидовых пространств Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования