Next: 5 приведение квадратичной формы
Up: 1 n-мерное пространство. Линейные
Previous: 3 изоморфизм евклидовых пространств
Subsections
В этом параграфе мы будем опять заниматься аффинным пространством, а
именно, будем изучать простейшие числовые функции от векторов в
аффинном пространстве.
Простейшей функцией в аффинном пространстве является линейная функция.
Определение 4.1
Говорят, что в аффинном пространстве задана
линейная функция (линейная форма),
если каждому вектору поставлено в соответствие число , так
что при этом выполнены условия:
1
.
2
.
Выберем в -мерном пространстве произвольный базис
. Так как каждый вектор можно представить в виде
то в силу свойств линейной функции имеем:
Итак: в -мерном пространстве с заданным базисом линейная
функция может быть представлена в виде
![$\displaystyle f(x)=a_1\xi_1+a_2\xi_2+\ldots+a_n\xi_n,$](http://images.nature.web.ru/nature/2000/10/02/0001151602/ch1img480.gif) |
(1) |
где
-- постоянные, зависящие лишь от выбора базиса,
а
-- координаты вектора в этом
базисе.
Таким образом, данное выше определение линейной функции совпадает, по
существу, с принятым в алгебре определением линейной функции (линейной
формы); надо лишь иметь в виду, что в нашем случае коэффициенты
зависят от выбора базиса.
Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене
одного базиса другим.
Пусть
и
-- два базиса в . Пусть, далее, векторы выражаются
через базис
формулами
Пусть в базисе
линейная функция
выражается формулой
а в базисе
-- формулой
Так как
, а
, то
Мы видим, следовательно, что коэффициенты линейной формы
преобразуются при переходе к другому базису так же, как векторы
базиса (или, как иногда говорят, когредиентно векторам
базиса).
Пример 1
1. В пространстве, векторами которого являются
непрерывные функции , заданные на отрезке ,
рассмотрим функцию , заданную формулой
Эта функция линейна, так как выполняются условия 1 и
2 .
Действительно, первое из них означает, что интеграл суммы равен
сумме интегралов, а второе означает, что постоянный множитель
можно выносить за знак интеграла.
Пример 2
2. В том же пространстве рассмотрим функцию
, определенную следующим образом. Выберем на отрезке
некоторое значение и положим
Проверьте, что эта функция также линейна.
Существенную роль в дальнейшем
будут играть билинейные и квадратичные функции (формы).
Определение 4.2
Мы говорим, что есть
билинейная функция (билинейная форма)
от векторов и , если:
1 при фиксированном есть линейная функция
от ,
2 при фиксированном есть линейная функция
от .
Иными словами, в силу определения линейной функции условия 1 и
2 означают соответственно
Примеры
1. Рассмотрим -мерное пространство, в котором
вектор есть совокупность чисел. Положим
где есть вектор
, а -- вектор
. Формула (2) определяет билинейную
функцию. В самом деле, если зафиксировать , т.е. считать
постоянными, то
зависит от линейно, т.е. есть линейная
функция от
, а при постоянных
форма -- линейная функция от .
2. В пространстве, в котором векторами являются непрерывные
функции , рассмотрим следующий пример билинейной функции.
Пусть -- некоторая непрерывная функция переменных
и . Положим
есть билинейная функция векторов и .
Действительно, условия 1 и 2 проверяются так же, как и
в примере 1 предыдущего пункта.
Если
, то
т.е. есть произведение линейных функций
и
.
Упражнение
Показать, что если и -- линейные
функции, то их произведение
есть билинейная функция.
Определение 4.3
Билинейная функция (форма) называется
симметрической,
если для любых векторов и имеет место равенство
В приведенном выше примере 1 определенная формулой (2) билинейная
форма симметрична тогда и только тогда, когда
для любых и .
Скалярное произведение в евклидовом пространстве
является примером симметрической билинейной формы.
В самом деле, аксиомы 1 , 2 , 3 скалярного
произведения ( 2) как раз и означают, что
скалярное произведение есть симметрическая билинейная форма.
Мы определили билинейную форму аксиоматически. Выберем теперь в
-мерном пространстве какой-либо базис
и
выразим билинейную форму через координаты
и
векторов и в
этом базисе. Мы имеем:
В силу свойств 1 и 2 билинейной формы
или, короче
Обозначим постоянные
![](http://images.nature.web.ru/nature/2000/10/02/0001151602/ch1) |