Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций

... 2.1 Запись $x\in R$ означает, что

принадлежит

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... соответствие 2.2 Соответствие, установленное между элементами двух множеств

, называется взаимно однозначным, если:

1 $^{\circ}$ каждому элементу из соответствует один и только один элемент из ,

2 $^{\circ}$ каждый элемент из соответствует при этом одному и только одному элементу из . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... нуля 2.3 Если бы определитель матрицы $\boldsymbol A$ был равен нулю, то векторы $e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ были бы линейно зависимы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... геометрии 2.4 Можно было бы, конечно, определить евклидово пространство иначе, чем в п.1, введя аксиоматически понятия длины вектора и угла между векторами (а не скалярное произведение). Однако соответствующая система аксиом была бы более сложной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Коши-Буняковского 2.5 В примере 1 п.1 этого параграфа нет надобности доказывать это неравенство. Действительно, там в силу принятого в векторном исчислении определения скалярного произведения величина ${\frac{(x,y)}{\vert x\vert \vert y\vert}}$ есть косинус некоторого уже заранее определенного угла между векторами и поэтому она по абсолютной величине не превосходит 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...2.6 Мы будем обозначать одной и той же буквой вектор и точку, являющуюся его концом (векторы мы проводим из начала координат, см. стр.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... равноправны 2.7 Точный смысл этого утверждения таков. Если внимательно посмотреть приведенное в 1 доказательство изоморфизма аффинных пространств, то легко заметить, что там доказано несколько больше, чем сформулировано, а именно, доказано, что между двумя -мерными пространствами можно установить изоморфное соответствие так, чтобы заданный базис одного пространства перешел в заданный базис другого пространства. В частности, если в заданы два базиса $e_1, e_2, \dots, e_n$ и $e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ , то существует изоморфное отображение пространства на себя, при котором первый базис переходит во второй. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...P 2.8 Этот пункт можно при первом чтении пропустить. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 2.9 Для случая, когда есть плоскость, эта теорема в элементарной геометрии называется теоремой о двух перпендикулярах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 2.10 Размерность самого пространства для нас несущественна. Оно может быть даже бесконечномерным. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 2.11 Мы предполагаем,что ранг матрицы системы (13) равен и, следовательно, векторы $e_1, e_2, \dots, e_m$ линейно независимы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... пространстве 2.12 Геометрической теоремой мы будем называть утверждение о векторах, которое может быть сформулировано в терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... означает 2.13 Произведение двух матриц определяется, как известно, так: элемент произведения матриц, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца, равен сумме произведений элементов -й строки первой матрицы на соответствующие элементы -го столбца второй матрицы. Удобнее это правило записывать в виде формулы

$\displaystyle c_{ik}=\sum_{\alpha=1}^n a_{i\alpha}b_{\alpha k},$

где $a_{i\alpha}$ -- элементы первой матрицы, а $b_{\alpha k}$ -- элементы второй матрицы. Отсюда, применяя это правило дважды, можно получить, что произведение трех матриц вычисляется так: если $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{ABC}$ , то

$\displaystyle d_{ik}=\sum_{\alpha,\beta=1}^n a_{i\alpha}b_{\alpha\beta} c_{\beta k}.$

Если $\boldsymbol{A}'$ -- матрица, транспонированная к матрице $\boldsymbol{A}$ , то элементы матрицы $\boldsymbol{A}'\boldsymbol{BC}$ имеют вид $\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^n a_{\alpha i} b_{\alpha\beta} c_{\beta k}$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... формой 2.14 Функция

, полученная из произвольной (не обязательно симметрической) билинейной формы

, может быть получена и из симметрической билинейной формой. Действительно, пусть

-- произвольная билинейная форма; тогда

$\displaystyle A_1(x; y)=\frac{1}{2}[A(x; y)+A(y; x)]$

есть снова билинейная форма и притом, как можно видеть, симметрическая. Но

$\displaystyle A_1(x; x)=\frac{1}{2}[A(x; x)+A(x; x)]=A(x; x),$

т.е.

приводит нас (при

) к той же квадратичной форме, что и

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... соответствующей 2.15 Мы уже доказали, что билинейная форма

однозначно определяется своей квадратичной формой

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... произведением 2.16 Выше оно обозначалось

, а не

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 2.17 Если $a_{11}=0$ , но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, то к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы $e_1, e_2, \dots, e_n$ , что также является некоторым преобразованием этого базиса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... нуля 2.18 Можно показать, что это требование равносильно тому, что при приведении квадратичной формы к сумме квадратов по методу, описанному в 5, $a_{11}\ne0$ , $a_{22}^*\ne0$ и т.д. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 2.19 Выкладка сильно усложнилась бы, если бы мы заменили

его выражением через

и на первом, и на втором месте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... $1,\Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_n$ ^2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... миноры 2.21 Главными минорами называются те, при составлении которых выделяются столбцы с теми же номерами, что и строки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... пространстве 2.22 Для нас, конечно, несущественно, что размерность пространства равна

. В действительности пространство

может иметь произвольное (даже бесконечное) число измерений, поскольку наши рассуждения могут быть отнесены к подпространству, порожденному векторами $x, y, \dots, w$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... вид 2.23 Коэффициенты $\lambda_i$ в формуле (1) можно, как мы знаем, сделать равными $\pm1$ или 0. Те члены, для которых $\lambda_i=0$ , мы в формулах (2) и (3) опускаем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 2.24 В формуле (5) нельзя вместо знака $\leqslant$ поставить знак

, так как, хотя среди чисел $\eta_{p'+1}, \dots, \eta_n$ есть отличные от нуля, но возможно, что $\eta_{p'+1}=\eta_{p'+2}=\ldots =\eta_{p'+q'}=0.$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... формы 2.25 Пользуясь тем известным из теории матриц фактом, что ранг матрицы не меняется при умножении ее на любую неособенную матрицу, этот результат можно получить и непосредственно из выведенной в 4 формулы преобразования матрицы билинейной формы при изменении базиса $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}'\boldsymbol{AC}$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... формой 2.26 В отличие от определенных в 4 форм в вещественном пространстве, для которых соответствующее утверждение справедливо лишь для симметрических билинейных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... тождество 2.27 Читатель должен помнить, что $A(x; \lambda y)=\bar\lambda A(x; y)$ и, следовательно, в частности,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

МЦНМО

Посмотреть комментарии[2]