Научная Сеть >> Физические основы строения и эволюции звезд

Наука >> Астрономия >> Астрофизика >> физические процессы | Книги

См. также

Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Астрономия: учебно–методическое пособие для преподавателей астрономии, студентов педагогических вузов и учителей средних учебных заведений.

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Законы физики в космосе

Солнечно-земная физика

"...И гений - парадоксов друг": 290 лет со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова

Программа молодежной конференции "Современные вопросы геологии", 2-е Яншинские чтения, Институт литосферы окраинных и внутренних морей РАН, 26-29 марта 2002 года

Биогенез: мотивы и феномены возникновения жизни

Проблемы нефрологии детского возраста на рубеже столетий: наследственные нефропатии, дизэмбриогенез почек, гломерулонефрит, эконефропатии

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

XXXVI Тектоническое совещание

А.С. Спирин. Принципы структуры рибосом

Биологическая эволюция и морфогенез: Накопление биологического потенциала на докембрийском этапе эволюции.

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (2)

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Мировая линия Гамова

Радиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

<< 1.3 Сферически-симметричные поля тяг... | Оглавление | 1.5 Давление газа ... >>

1.4 Энергия гравитационного взаимодействия

Мы видели, что энергия гравитационного взаимодействия для двух масс и равна $U=-{Gm_1m_2\over r}$ . На случай точечных масс выражение для обобщается следующим образом:

$\displaystyle U=\sum_{\begin{array}{rcl}i,k\\ i>k\\ \end{array}}^N -\,{Gm_im_k\over r_{ik}}.$

При таком определении

каждая пара $m_i,\;m_k$ входит в сумму только один раз. Введем величину

$\displaystyle \varphi_k=-\sum_{i\ne k}^N {Gm_i\over r_{ik}}\;,$

что, очевидно, представляет собой гравитационный потенциал, создаваемый в

-той точке всеми остальными массами. Теперь для

можно написать

$\displaystyle U={1\over 2}\sum_{k=1}^N \varphi_km_k.$

Коэффициент ${1\over 2}$ появился вследствие того, что каждая пара точек входит в сумму два раза. Это выражение легко обобщить на случай непрерывной среды:

$\displaystyle U={1\over 2}\int \varphi \;dm={1\over 2}\int \rho \varphi\;dV$

(по определению $dm=\rho \;dV$ ).

Для точечных масс необходимо было отбрасывать энергию самодействия, оговаривая правило суммирования. В сплошной среде самодействие не учитывается автоматически. По порядку величины $dV \sim \;{(dr)}^3$ , и самодействие элемента есть $G{(\rho dV)}^2/dr \sim {(dr)}^5$ , т.е. величина более высокого порядка, чем энергия взаимодействия с остальными массами, которая $\sim {(dr)}^3$ .

Используем теперь выражение $\varphi$ для сферически-симметричного распределения $\rho (r)$ и вычислим гравитационную энергию. Имеем:

$\displaystyle U={G\over 2}\int\limits_0^M dm \;\left\{-{m\over r}-\int\limits_r^R {dm (q\ )\over q}\right\}.$

(1.3)

Это выражение можно значительно упростить. Введем вспомогательную функцию $f(m)=\int\limits_r^R {dm\over q}$ . Очевидно,

и кроме этого

$\displaystyle \int\limits_0^M f \;(m) \; \left. dm=mf \right\vert _0^M -\int\limits_0^M mdf=-\int\limits_0^M mdf.$

Имеем также

Таким образом, интеграл от первого члена в выражении (1.3) равен интегралу от второго, и окончательно получим

$\displaystyle U=-G\int\limits_0^M{mdm\over r(m)}.$

Это выражение проще получить иным путем, рассматривая, какую работу совершают гравитационные силы при наращивании данной конфигурации последовательными слоями. Пусть масса

с радиусом

уже изготовлена. Прибавим к этой массе новый сферический слой

. Тогда совершенная работа, очевидно, равна $dU= {Gmdm\over r}$ и т.д. В результате получим

$\displaystyle U=-G\int\limits_0^M {mdm\over r}.$

<< 1.3 Сферически-симметричные поля тяг... | Оглавление | 1.5 Давление газа ... >>

ГАИШ

Посмотреть комментарии[2]