<< 8.4 Гравитационное красное смещение.
| Оглавление |
9.2 Движение частиц в ... >>
Разделы
Рассмотрим сферически-симметричное и статическое решение уравнений Эйнштейна.
Введем сферические координаты, записав выражение для интервала в виде
Вид угловой части метрики
следует из требования
сферической симметрии. Из требования статичности находим, что
и должны быть функциями только . Кроме того, должно быть ,
иначе не будет обратимости во времени. Отсутствуют также члены типа
из-за сферической симметрии.
Определим радиальную координату так, чтобы
. При таком определении радиуса
площадь сферы равна , а длина окружности с центром в начале координат равна
. Однако это не значит, что точка, имеющая координату , удалена от центра
на расстояние , так как геометрия теперь неевклидова.
Введем функции и
так, что
т. е. метрика приобретает вид
Из уравнений Эйнштейна
после довольно долгих вычислений получим
Все остальные уравнения обращаются в тождества 0=0. Не диагональные компоненты тензора
энергии-импульса (типа
и т. п.) обращаются в нуль вследствие
сферической симметрии (это означает, что нет скалывающих напряжений). Отсутствует также
компонента , так как этот член соответствует потоку энергии по радиусу,
а мы рассматриваем статические решения.
Мы использовали смешанные компоненты тензора . В выражение и
входят метрические коэффициенты. Пусть у нас есть метрика
которая эквивалентна метрике
где , , . Оказывается, что выражения для , например,
разные в (9.4) и (9.5).
В смешанные компоненты вида коэффициенты
не входят, поэтому они одинаковы в исходной системе и локально-лоренцевой (если
исходная система уже диагональна).
Начнем с того, что будем искать решение уравнений
(9.1), (9.2),
(9.3) в пустоте вокруг
звезды (т. е. положим ). Введем
. Тогда
Теперь для уравнения (9.3) имеем
-- const, т. е.
.
Вычитая из уравнения (9.1) уравнение
(9.3), получим
const
Выбор const просто определяет масштаб времени. Поэтому зададимся условием, что
вдали от тела, где , также и , т. е. переменная есть время
изменения далеким покоящимся наблюдателем. Тогда получим
Отсюда
Мы получили известное решение Шварцшильда для пустого пространства вокруг сферического
симметричного тела:
При
эта метрика переходит в метрику Минковского.
Из выражения (6) видно, что при коэффициент при обращается в нуль, а
при -- в бесконечность.
Наблюдатель на некотором радиусе пользуется локально-лоренцевой системой отсчета:
Для покоящегося наблюдателя в обеих системах
и .
Поскольку -- инвариант, получим
Вдали, при
Так как мы уже выяснили связь потенциала с замедлением времени
(раздел 8.4), мы видим, что
где -- ньютоновский потенциал (мы убедимся в этом еще раз ниже, рассматривая
движение частиц), но
т. е.
Величину называют гравитационным радиусом (или радиусом Шварцшильда). Для звезды
солнечной массы
г;
см=3 км
(полезно запомнить!). Для Солнца метрику Шварцшильда можно применять до поверхности
см, т. е. всюду мало. Для нейтронных звезд
достигает
. Для черной (невращающейся!) дыры метрика Шварцшильда применима
ко всей наблюдаемой области пространства, т. е. вплоть до . Почему область
не наблюдаема (издали) будет объяснено позднее.
<< 8.4 Гравитационное красное смещение.
| Оглавление |
9.2 Движение частиц в ... >>
Посмотреть комментарии[2]
|