Научная Сеть >> Физические основы строения и эволюции звезд

Наука >> Астрономия >> Астрофизика >> физические процессы | Книги

См. также

Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Астрономия: учебно–методическое пособие для преподавателей астрономии, студентов педагогических вузов и учителей средних учебных заведений.

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Законы физики в космосе

Солнечно-земная физика

"...И гений - парадоксов друг": 290 лет со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова

Программа молодежной конференции "Современные вопросы геологии", 2-е Яншинские чтения, Институт литосферы окраинных и внутренних морей РАН, 26-29 марта 2002 года

Биогенез: мотивы и феномены возникновения жизни

Проблемы нефрологии детского возраста на рубеже столетий: наследственные нефропатии, дизэмбриогенез почек, гломерулонефрит, эконефропатии

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

XXXVI Тектоническое совещание

А.С. Спирин. Принципы структуры рибосом

Биологическая эволюция и морфогенез: Накопление биологического потенциала на докембрийском этапе эволюции.

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (2)

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Мировая линия Гамова

Радиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

<< 3.3 Кинетика фотонов и | Оглавление | 3.5 Рассеяние излучения на ... >>

3.4 Тормозное излучение зарядов

Заряд (электрон), движущийся равномерно и прямолинейно, очевидно, ничего не излучает (чтобы в этом убедиться, достаточно перейти в систему отсчета, где он покоится). Из классической электродинамики известно, что количество энергии, излучаемой зарядом в единицу времени, определяется его ускорением:

$\displaystyle Q={2\over 3}\,{e^2\over c^3}\,x^2.$

Подчеркнем, что эта формула относится к одному заряду. Если ускоряются два жестко связанных электрона, то

возрастает в 4 раза (так как $Q\sim e^2$ ). Таким образом, нельзя просто суммировать

от различных зарядов.

Ниже мы будем рассматривать излучение электрона при ускорении его во внешнем электрическом поле, скажем, в кулоновском поле иона. Вдали электрон движется практически с постоянной скоростью. Ускорение электрона максимально при пролете на минимальном расстоянии от иона. Очевидно, при этом максимально и излучение. Нас будет интересовать и спектральный состав излучения $Q_\nu\simeq e^2x_\nu^2/c ^3$ , где $x_\nu$ -- фурье-компонента ускорения.

Займемся излучением длинных волн. Фурье-компонента ускорения

$\displaystyle \ddot {x_\nu}={1\over 2}\int e^{i\,\omega\,t}\ddot x\,(t)\,dt.$

Если $\vert\omega t\vert<1$ (длинные волны)

$\displaystyle \ddot {x_\nu}=\int \ddot xdt=\Delta x,$

т.е. $\ddot {x_\nu}$ равно изменению скорости за время полета и не зависит от $\nu$ . Тогда при одном столкновении в единичном интервале частот излучается энергия

$\displaystyle Q_\nu\,\left[{\mbox{эрг}\over \mbox{Гц}}\right]={4\over 3}\,e^2\,{(\Delta x)^2\over c^3}.$

(3.3)

Подчеркнем еще раз, что это выражение справедливо только при $\omega<1/\tau$ , где $\tau$ -- длительность события (столкновения) (рассматриваем длинные волны). Заметим, что размерность $Q_\nu$ в формуле (3.3) изменилась на с

по сравнению с размерностью $Q\,\left[{\mbox{эрг}\over \mbox{с}}\right]$ , так как мы перешли сначала на единичный интервал частот и, кроме того, рассматриваем энергию, излученную не в секунду, а за все время пролета.

$\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f18.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Рис. 18.

Легко подсчитать изменение импульса электрона, пролетающего в поле иона, первоначально имеющего скорость и прицельный параметр (рис. 18):

$\displaystyle {Ze^2\over b^2}\,{b\over v}=\int Fdt=\Delta\,(mv)=\Delta\,(mx),$

откуда

$\displaystyle \Delta\,x={Ze^2\over {mbv}}.$

Пусть на ион с бесконечности падает пучок электронов со скоростью и плотностью . Через кольцо площадью $2\pi bdb$ около поля иона проходит $N_ev2\pi bdb$ электронов в секунду. Каждый из них в единичном интервале частот излучает $Q_\nu$ . Если в 1 см находится ионов, то полный поток энергии, излучаемый в единицу времени, очевидно, равен интегралу (логарифмический множитель опускаем)

$\displaystyle J_\nu=\int\limits_0^\infty {e^2\,(\Delta\,x)^2\over c^3}\,N_ZN_evbdb\simeq {Z^2e^6\over c^3}\,{N_ZN_e\over {m^2v}}.$

Из квантовой механики известно, что квант частотой $\nu$ может излучить только электрон, имеющий энергию больше $mv_{min}^2/2=h\nu$ . Поэтому в полное выражение войдет множитель $e^{-h\nu/kT}$

$\displaystyle J_\nu={32\pi\over 3}\,{\left({2\pi\,m\over {3kT}}\right)}^{1/2}\,... ...^{-{h\nu\over {kT}}}\;\left[{\mbox{эрг}\over {\mbox{см}^3 \mbox{с Гц}}}\right]$

(формула тормозного или

-излучения). В этой формуле учтено, что электроны имеют максвелловское распределение по скоростям с температурой

. Как видим, число квантов с $h\nu>kT$ экспоненциально мало. Это связано с тем, что большие кванты излучаются электронами с большими энергиями, сосредоточенными в ``хвосте'' максвелловского распределения.

При данном объемном коэффициенте $J_\nu$ изменение интенсивности $F_\nu$ в прозрачной среде, очевидно, определяется уравнением

$\displaystyle (n\nabla\,F_\nu)={dF_\nu\over {dx}}={J_\nu\over {4\pi}},$

где

-- координата вдоль произвольного направления

. Прозрачный источник ( малы поглощение и индуцированное излучение) дает одну и ту же освещенность в любой точке сферы с радиусом много больше размеров источника независимо от формы источника. В общем случае с учетом индуцированного излучения и поглощения изменение интенсивности вдоль определенного направления выражается уравнением

$\displaystyle {dF_\nu\over {dx}}={J_\nu\over {4\pi}}+{J_\nu\over {4\pi}}n-a_\nu F_\nu,$

где $a_\nu\;[$ см $^{-1}]$ -- коэффициент поглощения.

При полном термодинамическом равновесии $n={1\over {e^{h\nu\over {kT}}-1}},\;F_ \nu=F_{\nu\;\rm eq}\sim \nu^3/\left({e^{h\nu\over {kT}}-1}\right),\;{dF_\nu\over {dx}}=0$ . Получаем, что отношение объемного коэффициента излучения вещества $J_\nu$ к его коэффициенту поглощения $a_\nu$ есть универсальная функция $\nu$ и (закон Кирхгофа):

$\displaystyle J_\nu/a_\nu=8\pi\,h\,\nu^3\,e^{-{h\nu\over {kT}}}/c^2.$

Таким образом, если вычислено $J_\nu$ , то $a_\nu$ находится элементарно, и для свободно-свободных

-переходов получаем

$\displaystyle a_\nu={4\over 3}\,{\left({2\pi\over {3kTm}}\right)}^{1\over 2}\,{... ...{hcm\,\nu^3}}={3,7\cdot 10^8Z^2N_ZN_e\over {\nu^3\sqrt{T}}}\;[\mbox{см}^{-1}].$

Объединим в правой части уравнения переноса члены, отвечающие индуцированному излучению и поглощению, так как оба они пропорциональны неизвестной функции координат -- интенсивности излучения $F_\nu$ (поскольку $n\sim F_\nu$ ). В члене индуцированного испускания $J_\nu n/4\pi$ выразим $J_\nu$ через коэффициент поглощения $a_\nu$ , тогда правая часть примет вид ${J_\nu\over 4\pi}-a_\nu(1-e^{-{h\nu\over kT}})\,F_\nu$ .

Отсюда видно, что вынужденное испускание можно трактовать как некое уменьшение поглощения: часть квантов как бы поглощается и тут же испускается с той же частотой и в том же направлении с вероятностью $e^{-h\nu/kT}$ . Физически такие акты никак себя не проявляют и их можно вообще исключить из рассмотрения, вводя

$\displaystyle a'_\nu=a_\nu\,(1-e^{-{h\nu\over kT}}).$

Уравнение переноса принимает вид

$\displaystyle {dF_\nu\over dx}={J_\nu\over 4\pi}-a'_\nu F_\nu,$

и взаимодействие излучения с веществом можно представить так, как будто существует только спонтанное испускание и эффективное поглощение, описываемое коэффициентом $a'_\nu$ .

Коэффициент истинного поглощения $a_\nu\sim \nu^{-3}$ , но при $h\nu<kT$ эффективное поглощение $a'_\nu\sim \nu^{-2}$ и в равновесии это дает рэлей-джинсовскую формулу для интенсивности $F_{\rm eq}\sim {J_\nu\over a'_\nu}\sim\nu^2$ (коэффициент излучения $I_\nu$ при $h\nu<kT$ фактически постоянен). Используя закон Кирхгофа ${J_\nu\over 4\pi}=a'_\nu F_{\nu\;\rm eq}$ , запишем в общем случае уравнение переноса в виде

$\displaystyle {dF_\nu\over dx}=a'_\nu\,(F_{\nu\;\rm eq}-F_\nu).$

Это уравнение записано для координаты, изменяющейся вдоль луча зрения. Из него видно, что, если при $x=0\;F_\nu=0$ , то сначала, при малых $x<1/a'_\nu,\;F_\nu$ стремится к $F_{\nu\;\rm eq}$ линейно: $F_\nu=a'_\nu F_{\nu\;\rm eq}x$ , а затем при $x>1 /a'_\nu$ быстро устанавливается равновесие, при котором $F_\nu=F_{\nu\;\rm eq}$ . Если размеры излучающего облака (слоя)

меньше $1/a'_\nu$ , то оно является оптически тонким и интенсивность его излучения всегда меньше равновесной в $a'_\nu x_0$ раз. Полный поток энергии, излучаемой такими облаками, пропорционален $F=\int F_\nu d\nu= x_o\,\int a'_\nu F_{\nu\;\rm eq}d\nu$ . Введем средний коэффициент поглощения

$\displaystyle a={\int a'_\nu F_{\nu\;\rm eq}d\nu\over \int F_{\nu\;\rm eq}d\nu},$

тогда

$\displaystyle F=ax_0F_{eq}.$

Средний коэффициент поглощения для тормозного механизма, очевидно, равен

$\displaystyle a_{ff}=6,5\cdot 10^{-24}Z^2{N_eN_Z\over T^{7/2}}\;[$ см $\displaystyle ^{-1}].$

Соответствующая средняя длина свободного пробега фотона

$\displaystyle l_{ff}={1\over a_{ff}}=1,5\cdot 10^{23}{T^{7/2}\over Z^2N_eN_Z}\;[$ см $\displaystyle ].$

Причем, если плазма содержит смесь ионов с зарядами

и атомными массами

, то

$\displaystyle N_e=6\cdot 10^{23}\,\rho\,\sum\limits_i{X_iZ_i\over A_i},$

$\displaystyle Z^2N_Z=6\cdot 10^{23}\,\rho\,\sum\limits_i{X_iZ_i^2\over A_i},$

где

-- весовая доля данного иона.

$\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f19.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Рис. 19.

Рассмотрим процесс установления равновесия между веществом и излучением для однородной неограниченной среды, в которой в начальный момент излучение отсутствовало, а вещество было мгновенно нагрето до температуры . Очевидно, что прежде всего это равновесие установится на низких частотах, так как $a'_\nu\sim 1/\nu^2$ . С течением времени равновесие будет устанавливаться при больших значениях $\nu$ (см. рис. 19).

<< 3.3 Кинетика фотонов и | Оглавление | 3.5 Рассеяние излучения на ... >>

ГАИШ

Посмотреть комментарии[2]