Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s5node2.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:47:27 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   3 Как решать тригонометрические Up:   Тригонометрия для абитуриентов Previous:   1 Как решать тригонометрические

Subsections

2 Отбор чисел на тригонометрическом круге

Повторить:п. 2. Определение тригонометрических функций.
п. 2.6. Простейшие тригонометрические уравнения.

В уравнениях, встречавшихся нам до сих пор, при отборе корней получалось так, что при проверке в ответ включалась или же отбрасывалась вся серия целиком. В этом параграфе мы расскажем, что делать в более сложных случаях, когда часть серии в ответ входит, а часть - нет.

Пример 2.1   $ \dfrac{\cos 3x}{\sin 2x}= 0$.

Решение. Это уравнение, очевидно, равносильно системе

$\displaystyle \left\{\begin{aligned}\cos 3x&= 0;\\ \sin 2x&\ne0, \end{aligned}\right. $

или

$\displaystyle \left\{\begin{aligned} 3x&=\dfrac\pi2 +\pi k;\\ 2x&\ne \pi n \en... ...ne \frac{\pi n}2 \end{aligned}\right. \qquad (k,n\in \ensuremath{\mathbb{Z}}). $

Итак, нам нужно из множества всех $ x$, представимых в виде $ \dfrac\pi6 + \dfrac{\pi k}3$, где $ k$ - некоторое целое число, выкинуть посторонние корни - те, что представимы в виде $ \dfrac{\pi n}2$, где $ n$ - какое-то целое число. Для этого нанесем на тригонометрический круг все числа вида $ x=\dfrac\pi6 + \dfrac{\pi k}3$, где $ k\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$ (рис. 102а).

Рис. 102:
\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t25.1}& \epsfbox{t25.2}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

При этом получится 6 точек, обозначенных на рис. 102а. Эти точки появляются, если взять любые 6 последовательных значений $ n$, при остальных $ n$ точки будут повторяться. Более того, ясно, что всякое число, которому соответствует одна из отмеченных на рис. 102а точек, имеет вид $ \dfrac\pi6 + \dfrac{\pi k}3$ для некоторого целого $ k$.

Если нанести на этот рисунок еще и точки, соответствующие числам вида $ \dfrac{\pi n}2$, то у нас получится рис. 102б (точки, соответствующие числам $ \dfrac{\pi n}2$, отмечены белыми кружками). Ответом к нашему уравнению будут числа, представимые в виде $ \dfrac\pi6 + \dfrac{\pi k}3$ и при этом не представимые в виде $ \dfrac{\pi n}2$. Иными словами, решения уравнения - числа, которым соответствуют черные кружки, не совпадающие с белыми. Обращаясь к рис. 102б, видим, что таких кружков ровно четыре, и каждому из них соответствует бесконечная серия значений $ x$: $ \dfrac\pi6 + 2\pi n$; $ \dfrac{5\pi}6 + 2\pi n$; $ \dfrac{7\pi}6 + 2\pi n$; $ \dfrac{11\pi}6 + 2\pi n$. Можно также объединить первую серию с третьей, а вторую - с четвертой. Тогда ответ запишется так: $ x =\dfrac\pi6 +\pi n$; $ x=\dfrac{5\pi}6 +\pi n$ ( $ n\in \ensuremath{\mathbb{Z}}$).

Мы не случайно при записи системы

$\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&=\frac\pi6+\frac{\pi k}3;\\ x&\ne \frac{\pi n}2 \end{aligned}\right. $

использовали две разные буквы для обозначения ``произвольного целого числа'': ведь если $ x=\dfrac\pi6+\dfrac{\pi k}3 =\dfrac{\pi n}2$, где $ k\ne n$, то $ x$ - все равно посторонний корень. Например, так будет при $ k = 4$ и $ n = 3$ (получается посторонний корень $ 3\pi/2$).

Пример 2.2   $ \dfrac{\cos (x/2)}{\sin (x/3)}=0$.

Решение Это уравнение равносильно системе

$\displaystyle \left\{\begin{aligned}\cos (x/2)= 0;\\ \sin (x/3)\ne0 \end{aligned}\right.$    или $\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&=\pi +2\pi k;\\ x&\ne3\pi n\end{aligned}\right.$ ($k,n&isin#in; $ \mathbb{Z}$$).$\displaystyle $

Попробуем действовать так же, как и в предыдущем примере: нанесем на тригонометрический круг черные точки - числа вида $ \pi+ 2\pi k$ и белые точки - числа вида $ 3\pi n$. То, что получится, изображено на рис. 103.

Рис. 103:
\begin{figure}\epsfbox{t25.3}\end{figure}

На основании этого рисунка надо, казалось бы, сделать вывод, что решений у уравнения нет: ведь на рисунке нет черных точек, не совпадающих с белыми. Тем не менее легко видеть, что, скажем, число $ x=\pi$ будет решением уравнения. Где же мы ошиблись? Дело в том, что изображение чисел вида $ 3\pi n$, где $ n\in \ensuremath{\mathbb{Z}}$, на тригонометрическом круге неадекватно: верно, что все такие числа изображаются одной из белых точек на рис. 103, но неверно, что все числа, соответствующие белым точкам, имеют вид $ 3\pi n$ с целым $ n$: белым точкам на рис. 103 соответствуют и числа $ \pi$, $ 2\pi$, $ 4\pi$, $ 5\pi$ и т.д.

Вообще, изображение множества чисел на тригонометрическом круге будет адекватно, только если это множество ``имеет период $ 2\pi$'': вместе с каждым числом $ x$ содержит числа $ x-2\pi$ и $ x+2\pi$. В частности, будет иметь период $ 2\pi$ множество решений уравнения, обе части которого имеют период $ 2\pi$ как функции от $ x$.

Доведем теперь до конца решение уравнения $ \dfrac{\cos (x/2)}{\sin (x/3)}=0$. Все, что нам нужно, - выяснить, для каких целых чисел $ k$ число $ x=\pi+ 2\pi k$ окажется посторонним корнем. Это будет тогда, когда найдется такое число $ n\in \ensuremath{\mathbb{Z}}$, что $ \pi+ 2\pi k = 3\pi n$. Сокращая в этом равенстве на $ \pi$, получаем вопрос, к которому все сводится: для каких $ k\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$ существует такое $ n\in \ensuremath{\mathbb{Z}}$, что $ 1 + 2k = 3n$?

Чтобы ответить на этот вопрос, выразим $ k$ через $ n$: $ k=\dfrac{3n - 1}2$; выделим из этой дроби ``целую часть'':

$\displaystyle k =\frac{3n - 1}2=\frac{2n + n - 1}2=n+ \frac{n-1}2. \eqno (*) $

Так как $ k$ и $ n$ - целые числа, то $ \dfrac{n-1}2$ - тоже целое число. Значит, $ \dfrac{n-1}2=m$, $ n = 2m + 1$ ( $ m\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$). Подставляя в $ (*)$, получаем $ k = 3m + 1$ ( $ m\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$). Итак, мы получили ответ на наш вопрос: посторонние корни получаются при $ k = 3m + 1$, $ m\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$. Нас же интересуют как раз все остальные $ k$. Ясно, что сказать `` $ k\ne3m + 1$, $ m\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$'' - все равно, что сказать ``число $ k$ при делении на $ 3$ дает остаток, не равный $ 1$''. Однако кроме единицы при делении на $ 3$ возможны только остатки 0 или $ 2$. Так что можно еще сказать, что для числа $ x=\pi+ 2\pi k$, являющегося корнем, число $ k$ дает при делении на $ 3$ остаток 0 или $ 2$, или, иными словами, $ k = 3m$ или $ k = 3m + 2$, $ m\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$. Подставляя это выражение для $ k$, получаем окончательно ответ: $ x=\pi + 6\pi m$ или $ x = 5\pi + 6\pi m$.

Прием, позволивший нам выделить ``плохие'' значения $ k$, срабатывает всегда; как им пользоваться в общем случае, рассказано в приложении к этому параграфу.

Заметим еще, что и для уравнения $ \dfrac{\cos (x/2)}{\sin (x/3)}=0$ можно было бы обойтись изображением чисел на круге. Для этого надо было бы сделать замену переменной $ x = 6t$. После этого уравнение принимает вид $ \dfrac{\cos3t}{\sin2t}=0$. Левая часть этого уравнения уже имеет период $ 2\pi$ как функция от $ t$, так что его можно решать, отбирая числа на круге. Найдя $ t$, остается найти $ x = 6t$.

Задача 2.1   Решите уравнения: а) $ \dfrac{\sin 3x}{\cos 6x}=0$; б) $ \dfrac{\sin 4x}{\cos 5x}=0$; в) $ \dfrac{\sin 4x}{\cos 6x}=1$; г) $ \dfrac{\cos 3x}{\sin 2x}=1$; д) $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 5x = \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 3x$.

Задача 2.2   Решите уравнения: а) $ \sin 3x + \cos 4x = 2$; б) $ \sin 3x - \cos 2x = 2$; в) $ \sin 4x + \vert\sin 5x\vert = 2$; г) $ \sin^35x + \sin^47x = 2$; д) $ \sin\dfrac x3 - \sin\dfrac x4= -2$.

Указание к пункту а). При всех $ x$ верны неравенства $ \sin 3x\leqslant1$, $ \cos 4x\leqslant1$. Складывая их, получаем, что $ \sin 3x + \cos 4x\leqslant 2$, причем равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны $ 1$.

Задача 2.3   Решите уравнения: а) $ \sin 6x \cos 8x = 1$; б) $ \cos 4x \cos 5x = 1$; в) $ \cos 8x \cos 3x = -1$; г) $ \sin\dfrac x{10}\cos\dfrac x3 = -1$; д) $ \cos\dfrac x2 \cos\dfrac x5= 1$.

Указание к пункту а). При всех $ x$ верны неравенства $ \vert\sin 6x\vert\leqslant1$, $ \vert\cos 8x\vert\leqslant 1$. Следовательно, $ \sin 6x \cos 8x = 1$ тогда и только тогда, когда оба сомножителя одновременно равны $ 1$ или $ -1$.

Задача 2.4   а) Решите уравнение $ \cos x + \cos (x\sqrt 2) = 2$.

б) При каких значениях $ a$ уравнение $ \cos x + \cos (ax) = 2$ имеет бесконечно много решений?

Приложение. Линейные неопределенные уравнения с двумя неизвестными

При отборе корней тригонометрических уравнений иногда приходится отвечать на вопросы наподобие: ``для каких $ k\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$ существует такое $ n\in \ensuremath{\mathbb{Z}}$, что $ 44k + 6 = 166n$''? Посмотрим на этот вопрос немного с другой стороны: выясним, для каких вообще целых $ k$ и $ n$ выполняется равенство $ 166n - 44k = 3$. Такого рода задачи называются неопределенными уравнениями (точнее говоря, линейными неопределенными уравнениями с двумя неизвестными, но эти уточняющие слова мы будем опускать, поскольку других неопределенных уравнений нам не встретится). Расскажем, как можно решать такие уравнения.

Первое, что надо сделать для решения неопределенного уравнения, - это найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных и попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Рассмотрим, например, уравнение $ 21k - 24n = 8$. Наибольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить на него не удается, так как $ 8$ на $ 3$ не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет. В самом деле, если $ (k; n)$ - решение этого уравнения   13, то левая часть делится на $ 3$ (так как на $ 3$ делятся оба коэффициента), а правая часть на $ 3$ не делится. Значит, у этого уравнения решений нет. Сформулируем примененное нами соображение в общем виде:

Если в уравнении $ ax + by = c$ (с целыми $ a$, $ b$ и $ c$) коэффициенты $ a$ и $ b$ делятся на некоторое число $ d$, а свободный член $ c$ не делится на $ d$, то это уравнение не имеет решений в целых числах.

Мы указали одну причину, по которой наше неопределенное уравнение может не иметь решений. Оказывается, во всех остальных случаях решения обязательно будут.

Если в неопределенном уравнении $ ax + by = c$ свободный член $ c$ делится на наибольший общий делитель коэффициентов $ a$ и $ b$ (в частности, так будет, если $ a$ и $ b$ вообще не имеют общих делителей, кроме единицы), то уравнение обязательно имеет решения в целых числах.

Мы не будем доказывать это утверждение, а просто покажем, как искать решения.

Решим уравнение $ 166n - 44k = 6$. Для начала, как мы уже говорили, поделим обе части на $ 2$: $ 83n - 22k = 3$. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине - в нашем случае это $ k$, - и выразим ее через другую неизвестную: $ k=\dfrac{83n - 3}{22}$. Выделим в этой дроби целую часть:

$\displaystyle k = \frac{83n - 3}{22}=\frac{66n + 17n - 3}{22} = 3n + \frac{17n - 3}{22}.\eqno (*) $

Как видите, целочисленные решения нашего уравнения будут получаться, если подставлять в него все те целые $ n$, для которых число $ \dfrac{17n - 3}{22}$ тоже будет целым: ведь тогда из $ (*)$ получается, что и $ k$ - целое число. Но как же узнать, когда число $ \dfrac{17n - 3}{22}$ будет целым? Для этого обозначим $ \dfrac{17n - 3}{22}$ буквой $ t$ и запишем: $ \dfrac{17n - 3}{22}=t$, или $ 17n - 3 = 22t$. Как видите, снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и c исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет $ n$), и выделим из получающейся дроби целую часть:

$\displaystyle n = \frac{22t + 3}{17}=\frac{17t + 5t + 3}{17} = t+\frac{5t + 3}{17}.\eqno (**) $

Из $ (**)$ видно, что число $ \dfrac{5t + 3}{17}$ обязано быть целым. Обозначим его буквой $ s$: $ \dfrac{5t + 3}{17} = s$, $ 5t + 3 = 17s$. Продолжая в том же духе, выразим $ t$ через $ s$:

$\displaystyle t=\frac{17s - 3}5=3s+\frac{2s-3}5. $

Обозначим, далее, $ \dfrac{2s-3}5$ буквой $ v$: $ \dfrac{2s-3}5 = v$, $ 2s - 3 = 5v$, $ s=\dfrac{5v + 3}2 = 2v +\dfrac{v+3}2$. Обозначим, наконец, $ \dfrac{v+3}2$ буквой $ u$: $ \dfrac{v+3}2 = u$, $ v = 2u - 3$. В этом месте наши мучения и кончаются. В самом деле, нам надо выяснить, для каких целых $ v$ число $ \dfrac{v+3}2$ будет целым, и ответ на этот вопрос уже готов: если $ v = 2u - 3$, где $ u$ - любое целое число! (дело тут, конечно, в том, что в неопределенном уравнении $ v = 2u - 3$ коэффициент при $ v$ равен единице). Теперь, чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить $ v$ через $ u$, $ s$ через $ v$, $ t$ через $ s$, $ n$ через $ t$ и $ k$ через $ n$. Отправимся в обратный путь: $ v = 2u - 3$; $ s=2v +\dfrac{v+3}2= 5u-6$; $ t=3s +\dfrac{2s-3}5= 17u - 21$; $ n= t+\dfrac{5t+3}{17}= 22u - 27$; $ k= 3n+\dfrac{17n-3}{22} = 83u - 102$. Итак, решение получено: $ k = 83u - 102$, $ n = 22u - 27$, где $ u$ - произвольное целое число. Стало быть, ответ на наш исходный вопрос таков: пусть $ k$ - целое число. Тогда $ 44k + 6 = 166n$ для некоторого $ n\in \ensuremath{\mathbb{Z}}$ тогда и только тогда, когда $ k = 83u - 102$, где $ u\in \ensuremath{\mathbb{Z}}$.

Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами называется алгоритмом Евклида.

Задача 2.5   Для каких целых $ k$ существует такое целое $ n$, что $ 7k - 19 = n$?

Задача 2.6   Решите уравнения в целых числах: а) $ 17x + 19y = 1$; б) $ 26x - 78y = 143$; в* ) $ 7x^2- 4y = 5$.

Задача 2.7   При решении в целых числах уравнения $ 166n - 44k = 6$ нам пришлось ввести помимо $ n$ и $ k$ четыре дополнительные переменные ($ t$, $ s$, $ v$ и $ u$). Приведите пример неопределенного уравнения вида $ ax + by = c$, в котором $ a$ и $ b$ - двузначные числа, для решения которого по изложенному методу надо ввести шесть дополнительных переменных. Попробуйте также доказать, что большего количества дополнительных переменных при двузначных $ a$ и $ b$ никогда не потребуется.

       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования