Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги

Next: 4 Двойные, тройные и половинные Up: Формулы сложения и их Previous: 2 Тригонометрические формулы сложения

3 Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты

Повторить:п. 2.9: Чему равно $\sin x+\cos x$ ?

В предыдущем параграфе мы с помощью формул сложения перешли от записи колебаний в виде $u=A\sin(\omega t+\varphi)$ к записи $u=P\cos t+Q\sin t$ . Давайте теперь научимся переходить от второй записи к первой.

Если вместо написать $\alpha$ , то задача будет такова: дано выражение $P\sin\alpha+Q\cos\alpha$ ; требуется найти такие числа и $\varphi$ , чтобы выполнялось тождество $P\sin\alpha+Q\cos\alpha=A\sin(\alpha+\varphi)$ (мы можем, очевидно, считать, что и не равны одновременно нулю).

Предположим сначала, что нам удалось найти такое $\varphi$ , что $P=\cos\varphi$ , $Q=\sin\varphi$ . Тогда наша задача решалась бы просто:

$\displaystyle P\sin\alpha+Q\cos\alpha=\cos\varphi \sin\alpha+\sin\varphi\cos\alpha=\sin(\alpha+\varphi).$

Однако в общем случае такого числа может и не существовать: ведь если $P=\cos\varphi$ , $Q=\sin\varphi$ , то $P^2+Q^2=\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1$ , а сумма квадратов двух произвольных чисел

равняться единице не обязана. Поэтому применим небольшой трюк, а именно умножим и поделим наше выражение на $\sqrt{P^2+Q^2}$ :

$\displaystyle P\sin\alpha+Q\cos\alpha=\sqrt{P^2+Q^2} \biggl(\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}\sin\alpha+ \frac{Q}{\sqrt{P^2+Q^2}}\cos\alpha\biggr).$

Заметим, что

$\displaystyle \biggl(\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}\biggr)^2+ \biggl(\frac{Q}{\sqrt{P^2+Q^2}}\biggr)^2.$

Стало быть, точка с координатами $\Bigl(\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}};\frac{Q}{\sqrt{P^2+Q^2}}\Bigr)$ лежит на тригонометрической окружности; пусть $\varphi$ - какое-нибудь из соответствующих ей чисел. Тогда выполнены равенства

$\displaystyle \cos\varphi$	$\displaystyle =\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}},$
$\displaystyle \sin\varphi$	$\displaystyle =\frac{Q}{\sqrt{P^2+Q^2}},$

и наше выражение запишется так:

$\displaystyle P\sin\alpha+Q\cos\alpha$	$\displaystyle =\sqrt{P^2+Q^2}(\cos\varphi \sin\alpha+\sin\varphi\cos\alpha)={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\sqrt{P^2+Q^2}\sin(\alpha+\varphi).$

Итак, наша цель достигнута.

Если числа

не равны 0, то

$\displaystyle P\sin\alpha+Q\cos\alpha=\sqrt{P^2+Q^2} \sin(\alpha+\varphi),$

где $\cos\varphi=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}$ , $\sin\varphi=\frac{Q}{\sqrt{P^2+Q^2}}$ .

Эта формула называется формулой вспомогательного угла (вспомогательный угол - это $\varphi$ ).

Если поделить друг на друга выражения для $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ , то получится равенство $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi=Q/P$ , так что возникает искушение написать попросту $\varphi=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits (Q/P)$ . К сожалению, так писать можно только если : в этом случае точка, соответствующая $\varphi$ , лежит правее оси ординат, и поэтому ей соответствует число из интервала $(-\pi/2;\pi/2)$ , в котором лежат арктангенсы всех углов. Если , то это уже не так (тогда в качестве $\varphi$ годится число $\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits ((Q/P)+\pi)$ ).

Теперь мы можем довести до конца исследование функции $y = \sin x+\cos x$ , начатое в п. 2.9. Если преобразовать выражение $\sin x+\cos x$ по нашему рецепту, то получится вот что:

$\begin{multline*} \sin x+\cos x=\sqrt{2}\biggl(\frac{1}{\sqrt2}\sin x +\frac{1}{... ...\sin x\cdot\cos(\pi/4)+\sin(\pi/4)\cos x)= \sqrt2 \sin(x+\pi/4). \end{multline*}$

Стало быть, график нашей функции - действительно синусоида; заодно мы еще раз убеждаемся, что наибольшее значение выражения $\sin x+\cos x$ равно $\sqrt 2$ , а наименьшее значение равно $-\sqrt 2$ .

Задача 3.1 Постройте графики функций: а) $y = \sin x+\cos x$ ; б) $y =\sin x-\cos x$ ; в) $y =\sin x-\sqrt 3\cos x$ .

Задача 3.2 Найдите множество значений функции $y=\sin x-2\cos x$ .

Задача 3.3 Решите уравнения: а) $6\cos x-5\sin x = 8$ ; б) $\sin x+\cos x = 1$ .

Нашу формулу вспомогательного угла можно получить и геометрически. Напомним для начала, что вектор длины , образующий с осью абсцисс угол $\alpha$ , имеет координаты $(r\cos\alpha;r\sin\alpha)$ (рис. 91а).

Рис. 91:

$\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t20.1}& \epsfbox{t20.2}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}$

Теперь рассмотрим вектор $\overline{OA}$ , имеющий длину

и образующий с осью абсцисс угол $\alpha$ , и перпендикулярный ему вектор $\overline{OB}$ , имеющий длину

и образующий с осью абсцисс угол $\alpha+\pi/2$ (рис. 91б). Тогда

$\displaystyle \overline{OA}=(P\cos\alpha;P\sin\alpha),\qquad \overline{OB}=(-Q\sin\alpha;Q\cos\alpha)$

(второе равенство вытекает из формул приведения $\sin(\alpha+\pi/2)=\cos\alpha$ , $\cos(\alpha+\pi/2)=-\sin\alpha$ ), откуда

$\displaystyle \overline{OA}+\overline{OB} =(P\cos\alpha-Q\sin\alpha;P\sin\alpha+Q\cos\alpha).$

Однако сумму можно найти и по правилу параллелограмма: $\overline{OA}+\overline{OB}=\overline{OC}$ , где точка

- вершина прямоугольника

. По теореме Пифагора имеем $OC=\sqrt{OA^2 +OB^2}=\sqrt{P^2+Q^2}$ ; если обозначить $\angle AOC$ через $\varphi$ , то вектор $\overline{OC}$ образует с осью абсцисс угол $\alpha+\varphi$ , откуда

$\displaystyle \overline{OC}=\bigl(\sqrt{P^2+Q^2}\cos(\alpha+\phi); \sqrt{P^2+Q^2}\sin(\alpha+\phi)\bigr).$

Приравнивая ординаты векторов $\overline{OC}$ и $\overline{OA}+\overline{OB}$ , получаем, что

$\displaystyle P\sin\alpha+Q\cos\alpha=\sqrt{P^2+Q^2}\sin(\alpha+\varphi).$

Угол $\varphi$ найдем также геометрически: из прямоугольного треугольника

видим, что $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi=AC/OA=Q/P$ . Это также согласуется с предыдущими результатами (напомним, что числа

положительны).

Задача 3.4 Если приравнять абсциссы векторов $\overline{OC}$ и $\overline{OA}+\overline{OB}$ , то для положительных и получится формула

$\displaystyle P\cos\alpha-Q\sin\alpha=\sqrt{P^2+Q^2}\cos(\alpha+\varphi),$

где $\varphi=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits (Q/P)$ . Выведите эту формулу, не используя векторов.

Прием, которым мы воспользовались, позволяет придать геометрический смысл и другим тригонометрическим выкладкам. Давайте, например, упростим выражение $\sin\alpha+\sin( \alpha+120^\circ)+\sin(\alpha-120^\circ)$ (задача 2.3 из предыдущего параграфа). Для этого отложим от начала координат следующие три вектора $\overline{a}$ , $\overline{b}$ и $\overline{c}$ , соответствующие точкам $\alpha$ , $\alpha-120^\circ$ , $\alpha-120^\circ$ тригонометрической окружности: $\overline{a}=(\cos\alpha;\sin\alpha)$ , $\overline{b}=(\cos(\alpha-120^\circ);\sin(\alpha-120^\circ))$ , $\overline{c}=(\cos(\alpha+120^\circ);\sin(\alpha+120^\circ))$ (рис. 92а).

Рис. 92:

$\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t20.3}& \epsfbox{t20.4}\\ а) & б)\\ \end{tabular}\end{figure}$

Если искать сумму $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}$ геометрически (откладывая $\overline{b}$ от конца $\overline{a}$ и т.д.), то ясно, что наша ломаная из трех звеньев замкнется в правильный треугольник, так что $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$ (рис. 92б). Записывая же сумму $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}$ в координатах, получаем равенства

$\displaystyle \sin\alpha+\sin(\alpha+120^\circ)+\sin(\alpha-120^\circ)$	$\displaystyle =0,$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos(\alpha+120^\circ)+\cos(\alpha-120^\circ)$	$\displaystyle =0.$

Таким образом, мы доказали тождество из задачи 2.3 (а заодно и аналогичное тождество для косинусов). Впрочем, в данном случае ничего не стоит доказать эти тождества без всяких векторов, с помощью формул сложения. Приведем более серьезный пример.

Рассмотрим синусоидальное колебание с амплитудой , частотой $\omega$ и фазой $\varphi$ : $u=A\sin(\omega t+\varphi)$ . Тогда значение в момент времени есть ордината вектора длины , образующего угол $\omega t+\varphi$ с осью абсцисс. Иными словами, значение в момент равно ординате вектора длины , вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью $\omega$ . На рисунках принято изображать положение этого вращающегося вектора в момент . При этом угол, образованный им с осью абсцисс, будет равняться фазе (рис. 93а).

Рис. 93: Векторные диаграммы.

$\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t20.5}& \epsfbox{t20.6}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}$

Рассмотрим теперь два колебания одной частоты: $u_1=A_1\sin(\omega t+\varphi _1)$ , $u_2=A_2\sin(\omega t+\varphi _2)$ . Как найти амплитуду и фазу их суммы

? Если изобразить

вращающимися векторами, то очевидно, что сумма этих векторов также будет вращаться со скоростью $\omega$ , и

будет равно ординате их суммы. Стало быть, при изображении колебаний векторами сумме колебаний соответствует сумма векторов. В частности, из рис. 93б и теоремы косинусов ясно, что длина суммы векторов равна $\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi _1-\varphi _2)}$ , так что

$\begin{multline*} A_1\sin(\omega t+\varphi _1)+A_2\sin(\omega t+\varphi _2)=\\ ... ...+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi _1-\varphi _2)} \sin(\omega t+\psi), \end{multline*}$

где угол $\psi$ также может быть найден геометрически (например, с помощью теоремы синусов).

При таком соответствии между колебаниями и векторами разложение

$\displaystyle A\sin(\omega t+\varphi )=P\sin\omega t+Q\cos\omega t$

соответствует разложению вектора на сумму векторов, параллельных осям абсцисс и ординат (так что коэффициенты

- не что иное, как координаты вектора). Сдвиг начала отсчета времени на $\tau$ , в результате которого к фазе прибавляется число $\omega \tau=\psi$ , соответствует повороту на угол $\psi$ . Теперь становится понятным, почему полностью аналогичны ответы к задачам 2.11 и 2.12.

Описанное нами изображение колебаний с помощью векторов применяется в электротехнических расчетах; там его называют методом векторных диаграмм.

Задача 3.5 Рассмотрим колебания, заданные формулами $u_1=A_1\sin\omega t$ и $u_2=A_2\sin(\omega t+\varphi )$ . Найдите с помощью векторной диаграммы амплитуду и фазу для .

МЦНМО

Написать комментарий