Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги

Next: 3 Формула вспомогательного угла Up: Формулы сложения и их Previous: 1 Скалярное произведение

2 Тригонометрические формулы сложения

Формула, выражающая скалярное произведение векторов через их координаты, - это главное, ради чего мы занялись векторами.

$\begin{figure}\epsfbox{t19.1}\end{figure}$ Рис. 88:

Сейчас мы будем пожинать плоды нашей работы. Для начала давайте научимся находить синус и косинус суммы чисел, если известны синус и косинус слагаемых. Нам будет удобнее начать с формулы для косинуса разности.

Итак, пусть нам даны числа $\alpha$ и $\beta$ . Рассмотрим на тригонометрической окружности точку , соответствующую числу $\alpha$ , и точку , соответствующую числу $\beta$ (рис. 88). Обозначим начало координат буквой и рассмотрим векторы $\overline{a}=\overline{ZA}$ , $\overline{b}=\overline{ZB}$ . Из определения тригонометрических функций ясно, что координаты векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ таковы: $\overline{a}=(\cos\alpha;\sin\alpha)$ ; $b=(\cos\beta;\sin\beta)$ . Стало быть, скалярное произведение векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ равно, по формуле из предыдущего параграфа,

$\displaystyle \overline{a}\cdot\overline{b}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$

С другой стороны, длина каждого из векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ равна единице, а угол между ними равен $\alpha-\beta$ (точнее говоря, $(\alpha-\beta)+2\pi n$ для некоторого целого

, так как число $\alpha-\beta$ может оказаться отрицательным или большим $\pi$ ). Так или иначе косинус угла между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$ равен $\cos(\alpha-\beta)$ , так что $\overline{a}\cdot\overline{b}=\vert\overline{a}\vert\cdot\vert\overline{b}\vert\cdot\cos(\alpha-\beta)= \cos(\alpha-\beta)$ . Сопоставляя два выражения для $\overline{a}\cdot \overline{b}$ , получаем:

$\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$

Чтобы получить теперь формулу для косинуса суммы, надо в формулу для $\cos(\alpha-\beta)$ подставить $-\beta$ вместо $\beta$ :

$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)$	$\displaystyle = \cos(\alpha-(-\beta))= {}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle = \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) = {}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$

Чтобы получить формулы для синуса суммы и разности, воспользуемся формулами приведения. Вот формула синуса суммы:

$\displaystyle \sin(\alpha+\beta)$	$\displaystyle =\cos(\pi/2-(\alpha+\beta)) ={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\cos((\pi/2-\alpha)-\beta)={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle = \cos(\pi/2-\alpha)\cos\beta+\sin(\pi/2-\alpha)\sin\beta = {}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$

Аналогичным способом получается и формула синуса разности. Предлагаем вам вывести ее самостоятельно и свериться с ответом:

$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)$	$\displaystyle = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta;$
$\displaystyle \cos(\alpha-\beta)$	$\displaystyle = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta;$
$\displaystyle \sin(\alpha+\beta)$	$\displaystyle = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta;$
$\displaystyle \sin(\alpha-\beta)$	$\displaystyle = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. \index{Формулы!сложения}\index{Сложения формулы}$

Из формул для синуса и косинуса суммы и разности получаются и формулы для тангенса суммы и разности. Вот, например, как получается формула для тангенса суммы:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha+\beta)$	$\displaystyle =\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta}={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\frac{(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)/\cos\alpha\cos\beta}{(\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta)/\cos\alpha\cos\beta}={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\frac{(\sin\alpha/\cos\alpha)+(\sin\beta/\cos\beta)}{1-(\sin\alpha\sin\beta/\cos\alpha\cos\beta)}={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha+\mathop{\mathrm{tg}}\... ...ta}{1-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \beta}.$

Выпишем еще раз формулы для тангенса суммы и разности:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha+\beta)$	$\displaystyle =\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha+\mathop{\mathrm{tg}}\... ...ta}{1-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \beta};$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha-\beta)$	$\displaystyle =\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha-\mathop{\mathrm{tg}}\... ...{\mathrm{tg}}\nolimits \beta}. \index{Формулы!сложения}\index{Сложения формулы}$

В этой книжке уже шла речь о периодических, или колебательных, процессах. В простейшем и типичном случае колебательного процесса график зависимости величины (скажем, силы тока) от времени является синусоидой. Если отсчитывать время от того момента, когда значение величины равно нулю, то зависимость величины , совершающей колебания, от времени задается формулой $u=A\sin\omega t$ , где и $\omega$ - постоянные. В общем же случае, когда отсчет времени начинается через время $\tau$ после этого момента, вместо в формулу надо будет подставить $t+\tau$ , и формула примет вид $u=A\sin\omega(t+\tau)= A\sin(\omega t+\varphi)$ , где через $\varphi$ мы обозначили величину $\omega\tau$ . Постоянные $\omega$ , и $\varphi$ называются соответственно частотой, амплитудой и фазой, и этими тремя параметрами синусоидальное колебание полностью определяется. Амплитуда показывает, какого наибольшего значения достигает величина в процессе колебаний, а фаза показывает, на каком этапе колебаний мы начали отсчет времени: если $\varphi=0$ , то в момент, когда , а если, допустим, $\varphi=\pi/2$ , то в момент, когда достигло наибольшего значения.

Если преобразовать выражение $u=A\sin(\omega t+\varphi)$ , то мы получим:

$\displaystyle u=A\cos\varphi\sin\omega t+A\sin\varphi\cos\omega t = P\sin\omega t+Q\cos\omega t,$

где $P=A\cos\varphi$ , $Q=A\sin\varphi$ - постоянные. Учитывая, что вместо

Рис. 89:

$\begin{figure}\epsfbox{t19.2}\end{figure}$

$\cos\omega t$ можно написать $\sin(\omega t+\pi/2)$ , получаем, что всякое синусоидальное колебание можно представить в виде суммы колебаний с фазами 0 и $\pi/2$ .

Задача 2.1 Если $\alpha$ , $\beta$ и $\alpha+\beta$ - острые углы, то формулу для синуса суммы можно получить геометрически, без всяких векторов. Сделайте это, руководствуясь рис. 88.

Задача 2.2 а) Докажите тождество

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}.$

б) Выведите аналогичное тождество для $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits \alpha+\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits \beta$ .

Задача 2.3 Докажите тождество

$\displaystyle \sin\alpha+\sin(\alpha+120^\circ)+\sin(\alpha-120^\circ)=0.$

Задача 2.4 Найдите значения следующих выражений: а) $\cos78^\circ\cos18^\circ+\cos12^\circ\cos72^\circ$ ; б) $\cos76^\circ\cos31^\circ+\cos14^\circ\cos59^\circ$ ; в) $\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 22^\circ+\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits 6... ...mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 157^\circ\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits 168^\circ}$ .

Задача 2.5 а) Найдите $\sin\alpha$ , если $\sin(\pi/6+\alpha)=12/13$ , $\pi/2\leqslant\alpha\leqslant\pi$ .

б) Дано, что $0<\alpha<\beta<\pi/2$ , $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \beta=3$ , $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha+\beta)=-3$ . Найдите $\alpha$ .

Задача 2.6 Докажите тождества: а) $\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits 2+\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits 3=3\pi/4$ ; б) $\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{1}{3} +\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits... ...rctg}}\nolimits \frac{1}{7} +\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{1}{8}=\pi/4$ .

Задача 2.7 а) Докажите тождество

$\displaystyle \sin(60^\circ-\alpha)+\sin\alpha=\sin(60^\circ+\alpha).$

б) Равносторонний треугольник вписан в окружность. На дуге взята точка . Докажите, что .

Задача 2.8 Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равно , общая хорда видна из центров под углами $90^\circ$ и $60^\circ$ . Найдите радиусы окружностей.

Задача 2.9 Остроугольный треугольник вписан в окружность радиусом $10\,см$ . Центр окружности удален от двух сторон треугольника на $2\sqrt{5}\, см$ и $8\, см$ . Чему равно расстояние от центра окружности до третьей стороны треугольника?

Задача 2.10 а) На клетчатой бумаге нарисован треугольник, вершины которого расположены в узлах (точках пересечения линий). Докажите, что тангенсы углов этого треугольника являются рациональными числами.

б) Докажите, что на клетчатой бумаге нельзя нарисовать равносторонний треугольник с вершинами в узлах.

Задача 2.11 Величина зависит от времени по закону

$\displaystyle u=P\cos\omega t+Q\sin\omega t.$

Сдвинем начало отсчета на постоянную величину $\tau$ (то есть подставим $t=t'+\tau$ и выразим

через

); получится формула $u=P'\cos\omega t'+Q\sin\omega t'$ . Выразите

через

и число $\varphi=\omega\tau$ .

Если говорить не о колебательных процессах, а просто о функциях, то эта задача говорит, что функция $y=a\sin x + b\cos x$ после сдвига аргумента на постоянное число (замены на ) остается функцией того же вида, только с другими коэффициентами и . Существует и более простой пример такого рода: показательная функция после замены на остается функцией того же вида, только с другим коэффициентом . Великий математик XVIII века Леонард Эйлер открыл, что эти два примера - фактически одно и то же. У нас пойдет об этом речь, когда мы займемся комплексными числами.

Задача 2.12 Точку , имеющую координаты , повернули относительно начала координат на угол $\varphi$ в положительном направлении. Получилась точка (рис. 89). Каковы ее координаты?

Рис. 90:

$\begin{figure}\epsfbox{t19.3}\end{figure}$

Указание. Если $\overline{e}_1$ и $\overline{e}_2$ - единичные координатные векторы, то $\overline{OM}=x\overline{e}_1+y\overline{e}_2$ ; пусть ${\overline{e}_1}'$ и ${\overline{e}_2}'$ - векторы, полученные из $\overline{e}_1$ и $\overline{e}_2$ соответственно поворотом на угол $\varphi$ (относительно начала координат в положительном направлении). Тогда, очевидно, ${\overline{OM}}'=x{\overline{e}_1}'+y{\overline{e}_2}'$ .

Формулы, выражающие координаты точки через координаты точки , совпадают с формулами из предыдущей задачи, выражающими и через и . Причины такого совпадения мы обсудим в следующем параграфе.

Задача 2.13 а) Пусть и - положительные числа, меньшие 1. Покажите, что $\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits a+\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits b=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \dfrac{a+b}{1-ab}$ .

б) Что нужно подставить вместо многоточия в правую часть равенства

$\displaystyle \arcsin a+ \arcsin b=\arcsin(\ldots),$

чтобы получилось тождество, верное при всех достаточно малых положительных

МЦНМО

Написать комментарий