Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги

Next: 5 Преобразование произведения в сумму Up: Формулы сложения и их Previous: 3 Формула вспомогательного угла

4 Двойные, тройные и половинные углы

Запишем формулы синуса, косинуса и тангенса суммы для частного случая, когда слагаемые равны. Получится вот что:

$\displaystyle \sin2\alpha=\sin (\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cdot\cos\alpha +\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha;$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos\alpha\cos\alpha -\sin\alpha\sin\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha;$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 2\alpha=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimi... ...hop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha}{1-2\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^{2}\alpha}.$

Стало быть, мы получили формулы, выражающие тригонометрические функции от $2\alpha$ через тригонометрические функции от $\alpha$ :

$\displaystyle \sin2\alpha$	$\displaystyle =2\sin\alpha\cos\alpha;$
$\displaystyle \cos2\alpha$	$\displaystyle =\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha;$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 2\alpha$	$\displaystyle =\frac{2\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha}{1-\mathop{\mathrm{t... ...nolimits ^{2}\alpha}.\index{Формулы!двойного угла}\index{Двойного угла формулы}$

Формулу для $\cos2\alpha$ можно немного преобразовать. Если заменить в ней $\sin^{2}\alpha$ на $1-\cos^{2}\alpha$ , то получится формула, выражающая $\cos2\alpha$ через $\cos\alpha$ :

$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha= \cos^{2}\alpha-(1-\cos^{2}\alpha)=2\cos^{2}\alpha-1.$

Можно, наоборот, заменить $\cos^{2}\alpha$ на $1-\sin^{2}\alpha$ . В итоге получается вот что:

$\displaystyle \cos2\alpha$	$\displaystyle =2\cos^{2}\alpha-1;$
$\displaystyle \cos2\alpha$	$\displaystyle =1-2\sin^{2}\alpha.$

Задача 4.1 Формулу $\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha$ можно доказать (для острых углов $\alpha$ ) геометрически. Сделайте это, найдя двумя разными способами основание равнобедренного треугольника с углом при вершине $2\alpha$ и боковой стороной 1.

Задача 4.2 а) Пусть $\sin\alpha+\cos\alpha=m$ ; найдите $\sin2\alpha$ .

б) Пусть $\sin\alpha-\cos\alpha=n$ ; найдите $\sin2\alpha$ .

Задача 4.3 Докажите тождество:

$\displaystyle \cos\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha=\sin8\alpha/8\sin\alpha.$

Указание. Умножьте и поделите левую часть на $8\sin\alpha$ .

Задача 4.4 Найдите значения выражений, не используя калькулятор или таблицы: а) $\cos(\pi/9)\cos(2\pi/9)\cos(4\pi/9)$ ; б) $\sin10^\circ\sin50^\circ\sin70^\circ$ .

Подобно формулам для функций двойного угла, можно получать формулы для синуса и косинуса $3\alpha$ , $4\alpha$ и т.д. Например:

$\displaystyle \cos3\alpha$	$\displaystyle =\cos(2\alpha+\alpha)= \cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)\cos\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha \sin\alpha={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\cos^{3}\alpha-3\sin^{2}\alpha\cos\alpha={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =\cos^{3}\alpha-3\sin^{2}\alpha \cos\alpha=\cos^{3}\alpha-3(1-\cos^{2}\alpha)\cos \alpha={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle =4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha.$

(в третьей строчке мы заменили заменяем $\sin^{2}\alpha$ на $1-\cos^{2}\alpha$ ).

Задача 4.5 Выведите вторую из нижеприведенных формул:

$\displaystyle \index{Формулы!тройного угла}\index{Тройного угла формулы} \cos3\alpha$	$\displaystyle =4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha;$
$\displaystyle \sin3\alpha$	$\displaystyle =3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha.$

Мы не будем выписывать формулы для синуса и косинуса $n\alpha$ при , больших 3. Для небольших значений читатель легко сделает это сам; как устроена формула для произвольного , мы узнаем, когда познакомимся с комплексными числами.

На наши формулы для $\cos2\alpha$ можно посмотреть и с другой стороны. Именно, выразим в этих формулах $\cos^{2}\alpha$ или $\sin^{2}\alpha$ через $\cos2\alpha$ . Получается вот что:

$\displaystyle \index{Формулы!понижения степени}\index{Понижения степени формулы} \cos^2\alpha$	$\displaystyle =\frac{1+\cos2\alpha}{2};$
$\displaystyle \sin^2\alpha$	$\displaystyle =\frac{1-\cos2\alpha}{2}.$

Эти формулы часто называют формулами понижения степени; вот два их применения.

Во-первых, давайте заменим всюду в этих формулах $\alpha$ на $\alpha/2$ . Получится вот что:

$\displaystyle \cos^2(\alpha/2)$	$\displaystyle =(1+\cos\alpha)/2;$
$\displaystyle \sin^2(\alpha/2)$	$\displaystyle =(1-\cos\alpha)/2.$

Если теперь извлечь из обеих частей квадратные корни, то получатся такие ``формулы половинного угла'':

$\displaystyle \Bigl\vert\cos\frac{\alpha}{2}\Bigr\vert =\sqrt{\frac{1+\cos\alph... ...\quad \Bigl\vert\sin\frac{\alpha}{2}\Bigr\vert =\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}.$

Стало быть, если нам известен косинус числа $\alpha$ , то - с точностью до знака - мы можем найти также синус и косинус числа $\alpha/2$ .

Если отбросить в формулах половинного угла знаки абсолютной величины и записать, например, $\cos\dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$ , то получится неверная формула: правая часть у нее всегда неотрицательна (по определению квадратного корня), а левая часть может быть отрицательной. Если мы знаем только значения тригонометрических функций от угла $\alpha$ , то для определения знаков $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ нужна дополнительная информация.

Такая неоднозначность в определении значений функций половинного угла не удивительна: если мы знаем только $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ , то нам известно расположение точки, соответствующей числу $\alpha$ , на тригонометрической окружности, но узнать, где на окружности находится число $\alpha/2$ , без дополнительной информации нельзя: если числа $\alpha$ и $\beta$ отличаются на $2\pi$ , то сами они занимают на тригонометрической окружности одно и то же место, а числа $\alpha/2$ и $\beta/2$ диаметрально противоположны.

Задача 4.6 а) Найдите $\cos(x/2)$ , если $\cos x=1/3, 2\pi<x<3\pi$ .

б) Найдите $\sin(x/2)$ , если $\cos x=1/4, -\pi/3\leqslant x\leqslant \pi/3$ .

в) Пусть нам требуется найти $\sin(x/2)$ , если $\cos x=1/4$ и $a-2\pi\leqslant x\leqslant a$ . Для каких из отрезка $[0;\pi/2]$ эта задача будет иметь единственное решение?

Задача 4.7 В треугольнике против сторон , , лежат углы , , . Докажите следующие формулы:

а) $\displaystyle \quad\sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}};$ б) $\displaystyle \quad\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$

(

- полупериметр).

Второй пример применения формул понижения степени относится к физике. Как известно, если ``нагрузка'' (например, электрическая лампочка) сопротивлением находится под напряжением , на ней выделяется мощность . Если ток у нас переменный, то напряжение , а стало быть, и мощность все время меняются, и тогда практический интерес представляет среднее значение этой мощности. Давайте его найдем. Пусть напряжение зависит от времени по закону $U=U_0\cos\omega t$ , где - амплитуда (максимальное значение напряжения). Тогда по формуле понижения степени имеем:

$\displaystyle U^2/R$	$\displaystyle = (U_0^2/R)\cos^2\omega t= (U_0^2/R)\frac{1+\cos2\omega t}{2}={}$
$\displaystyle {}$	$\displaystyle = U_0^2/2R+(U_0^2/R)\cos2\omega t.$

В этой сумме меняется со временем только второе слагаемое, но при этом его среднее значение равно нулю: половину времени число $\cos2\omega t$ положительно, другую половину - отрицательно, а при усреднении эти положительные и отрицательные значения компенсируют друг друга (см. рис. 95).

Рис. 95:

$\begin{figure}\epsfbox{t21.1}\end{figure}$

Поэтому среднее значение мощности равно первому слагаемому, то есть

. Если обозначить $U_{\mathrm{ср}}=U_0/\sqrt{2}$ , то получится, что средняя мощность равна $(U_{\mathrm{ср}}^2)/R$ . Стало быть, средняя мощность, выделяемая на сопротивлении

в цепи переменного тока с амплитудой напряжения

, такая же, как если бы ток был постоянен, а напряжение было в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем

. Величину $U_{\mathrm{ср}}=U_0/\sqrt{2}$ называют среднеквадратичным значением напряжения; именно его имеют в виду, когда говорят, что напряжение в сети равно

Задача 4.8 Докажите тождества: а) $\sin^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha-\beta) +\cos2\alpha\cdot\cos2\beta= 1$ ; б) $\cos^2(\alpha+\beta)+\cos^2(\alpha-\beta) -\cos2\alpha\cdot\cos2\beta= 1$ ; в) $\cos^6x+\sin^6x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos4x$ .

Задача 4.9 Упростите выражение $\sin^4x+\cos^4x$ и постройте график функции $y=\sin^4x+\cos^4x$ .

Мы уже выписывали формулы для $\vert\sin (\alpha/2)\vert$ и $\vert\cos(\alpha/2)\vert$ , так что формулу для $\vert\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)\vert$ можно получить, просто поделив эти формулы друг на друга:

$\displaystyle \Bigl\vert\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\alpha}{2}\Bigr\ver... ...овинного угла}\index{Половинного угла формулы}\index{Тангенс!половинного угла}$

Можно, однако, получить для тангенса половинного угла формулы и поинтереснее. Для этого в равенстве $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)=\dfrac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$ умножим числитель и знаменатель на $2\cos(\alpha/2)$ :

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\alpha}{2}= \frac{2\sin(\alph... ...овинного угла}\index{Половинного угла формулы}\index{Тангенс!половинного угла}$

(мы воспользовались формулами синуса двойного угла и понижения степени). Можно было бы также умножить числитель и знаменатель на $2\sin(\alpha/2)$ :

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\alpha}{2}= \frac{2\sin^2(\al... ...овинного угла}\index{Половинного угла формулы}\index{Тангенс!половинного угла}$

Рис. 96:

$\begin{figure}\epsfbox{t21.2}\end{figure}$

Итак:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{... ...mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}.$

Задача 4.10 Формулу $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ можно (по крайней мере для острых углов $\alpha$ ) доказать геометрически. Сделайте это, руководствуясь рис. 96.

Тангенс половинного угла играет в тригонометрии особую роль: через него можно выразить все остальные тригонометрические функции. Это делается так. Рассмотрим такую цепочку равенств:

$\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sin(2\cdot(\alpha/2))}{1}= \frac{2\sin(\alpha/2... ...mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)}$

(мы поделили числитель и знаменатель на $\cos(\alpha/2))$ . Обработаем аналогичным образом косинус:

$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\cos(2\cdot(\alpha/2))}{1}= \frac{\cos^2(\alpha/... ...hrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)}.$

Деля формулу для $\sin\alpha$ на формулу для $\cos\alpha$ , получим:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha=\frac{2\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)}{1-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)}.$

Впрочем, в этой последней формуле ничего нового как раз нет: если записать $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (2\cdot(\alpha/2))$ , то это - просто формула тангенса двойного угла.

Запишем три наши формулы вместе:

$\displaystyle \index{Формулы!универсальной подстановки}\index{Универсальная подстановка} \sin\alpha$	$\displaystyle = \frac{2\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)};$
$\displaystyle \cos\alpha$	$\displaystyle = \frac{1-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)};$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha$	$\displaystyle =\frac{2\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)}{1-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2(\alpha/2)}.$

Формулы, которые мы только что получили, в принципе позволяют чисто механически проверить любое тригонометрическое тождество, в обеих частях которого стоят выражения относительно $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ : надо только выразить всюду $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ через $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)$ , после чего, если обозначить $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)$ через , получится алгебраическое тождество с одной переменной , проверка которого может потребовать времени, но не изобретательности. Точно так же любое тригонометрическое уравнение, в котором левая и правая части выражены через $\sin x$ и $\cos x$ , сводится с помощью этих формул к алгебраическому уравнению относительно $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (x/2)$ (впрочем, для решения уравнений в ``школьном'' смысле эта подстановка мало что дает, поскольку при этом, как правило, получаются алгебраические уравнения высокой степени).

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, называются ``формулами универсальной подстановки''.

На формулы универсальной подстановки можно посмотреть и еще с одной стороны. Рассмотрим нашу старую знакомую - окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности можно рассматривать как рецепт проверки, принадлежит ли окружности данная точка: ``подставь ее координаты в уравнение; точка будет лежать на окружности, если при этом получится верное равенство''. После того, как мы определили функции синус и косинус, появляется возможность описать окружность, что называется, параметрически, а именно задать координаты всех ее точек формулами: ``точки окружности - это точки с координатами $(\cos\alpha;\sin\alpha)$ для всевозможных чисел $\alpha$ ''. Если теперь выразить $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ через $t=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\alpha/2)$ , то точки окружности окажутся заданными с помощью формул, не использующих тригонометрии: точки окружности с уравнением - это точки с координатами $\Bigl(\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\dfrac{2t}{1+t^2}\Bigr)$ для всевозможных . 12 Как говорят, координаты точек окружности задаются с помощью ``рациональных функций'' от (рациональная функция - это функция, для вычисления значения которой достаточно четырех действий арифметики и возведения в целую степень).

Представим теперь, что кривая задается не уравнением , а каким-то другим алгебраическим уравнением. Спрашивается, можно ли в этом случае координаты ее точек задать рациональными выражениями от переменной ? Ответ на этот вопрос зависит от уравнения кривой. Если в обеих частях уравнения стоят многочлены от и степени не выше второй, то задать точки кривой с помощью рациональных функций от одной переменной всегда удается (примеры - в задаче 4.11). Если же кривая задана уравнением степени больше 2, то, как правило, задать координаты ее точек рациональными функциями невозможно: так обстоит дело уже для кривой .

Задача 4.11 Задайте с помощью рациональных функций координаты точек следующих кривых: а) эллипса с уравнением ; б) гиперболы с уравнением ; в) гиперболы с уравнением .

Указания. б) Если , то . в) Разложите левую часть на множители.

Задача 4.12 а) Укажите пять решений уравнения в положительных рациональных числах.

б) Укажите пять решений уравнения в натуральных числах.

МЦНМО

Написать комментарий