Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s2node1.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:48:03 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   2 Определение тригонометрических функций Up:   Начальные свойства тригонометрических функций Previous:   Начальные свойства тригонометрических функций


1 Часы, или современный взгляд на тригонометрию

1.1 Часы и процессы.

До сих пор тригонометрия была для нас наукой о соотношениях сторон в треугольниках. Именно с этого развитие тригонометрии и начиналось (слово ``тригонометрия'' означает в переводе с древнегреческого ``измерение треугольников''). Позднее, однако, акценты сместились, и сейчас тригонометрию правильнее рассматривать как науку не о треугольниках, а о периодических процессах. Чтобы понять, при чем тут периодические процессы, рассмотрим простейший из них - движение стрелок часов.

Задача 1.1   Предположим, что все стрелки часов имеют длину 1 см (видимо, это женские наручные часики). Какой путь проходит за сутки: а) секундная стрелка; б) минутная стрелка; в) часовая стрелка? (Мы имеем в виду, конечно, путь, проходимый концом стрелки.)

Задача 1.2   Секундная стрелка часов имеет длину 1 см. Часы завели в 12 часов дня 1 января. В котором часу и какого числа путь, пройденный концом секундной стрелки, составит 1 км? С какой точностью надо знать пройденный стрелкой путь, чтобы иметь возможность ответить на вопрос о дате?

Часы нам еще сослужат добрую службу, но чтобы не входить в противоречие с общепринятой терминологией и обозначениями, нам нужны часы не совсем обычные. Наши ``часы для любителей тригонометрии'' имеют всего одну стрелку. Эта стрелка движется в обратном (по сравнению с обычными часами) направлении. В момент пуска часов стрелка указывает вправо (туда, где на обычных часах написана цифра 3). За час стрелка поворачивается на 1 радиан.

Рис. 20: Часы фирмы ``Тригонометрия''.
\begin{figure}\epsfbox{t05.1}\end{figure}

Будем считать, что длина стрелки равна 1. Тогда, согласно определению радианной меры угла, длина дуги, описываемой концом стрелки за час, равна 1, за два часа - 2 и т.д.

Объясним теперь, какое отношение эти часы имеют к синусам и косинусам. Для этого рассмотрим систему координат, расположенную, как показано на рис. 21а.

Рис. 21: Часы и тригонометрия.
\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t05.2}&\epsfbox{t05.3}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

Каковы будут координаты конца стрелки в момент $ t$ (через $ t$ часов после запуска)? Из рис. 21б ясно, что, пока стрелка не успела выйти за пределы первой координатной четверти, ее координаты будут $ (\cos t;\sin t)$ (имеются в виду косинус и синус угла в $ t$ радиан). В самом деле, из прямоугольного треугольника $ MAP$ видно, что $ \cos \angle MAP=AP$, $ \sin \angle MAP=MP$, а радианная мера угла $ \angle MAP$ равна $ t$.

Пусть теперь стрелка вышла за пределы первой координатной четверти (это означает, что пройденный ей путь $ t$ превысил $ \dfrac\pi2 $). Формально мы не можем сказать, что координаты конца стрелки равны $ (\cos t;\sin t)$, так как $ t$ больше не является радианной мерой острого угла, а синус и косинус мы определили только для острых углов. Однако мы можем обобщить наши определения. Можно определить косинус числа $ t$ как абсциссу конца стрелки в тот момент, когда пройденное этим концом расстояние составит $ t$. Аналогично синус $ t$ определяется как ордината конца стрелки в тот же момент. Как мы видели, в тех случаях, когда $ t$ является радианной мерой острого угла, новые определения согласуются с прежними.

Задача 1.3   Как бы вы определили синус и косинус отрицательного числа $ t$?

Задача 1.4   Найдите:
а) $ \cos\pi/2$ и $ \sin\pi/2$; б) $ \cos\pi $ и $ \sin\pi$;
в) $ \cos(3\pi /2)$ и  $ \sin(3\pi/2)$; г) $ \cos(5\pi /2)$ и  $ \sin(5\pi/2)$.

В следующем параграфе мы дадим более формальные определения синуса и косинуса произвольного числа и начнем систематическое изучение тригонометрии. Но некоторые важные свойства синуса и косинуса можно увидеть уже сейчас.

Заметим, что за время $ 2\pi $ стрелка наших часов делает полный круг и оказывается на прежнем месте. Поэтому координаты ее конца в моменты $ t$ и $ t+2\pi$ одинаковы. Другими словами:

$\displaystyle \cos(t+2\pi)$ $\displaystyle =\cos t$    
$\displaystyle \sin(t+2\pi)$ $\displaystyle =\sin t$    

Как говорят, функции синус и косинус имеют период $ 2\pi $.

Задача 1.5   Как меняется положение стрелки за время $ \pi $? Чему равны $ \cos(t+\pi)$ и  $ \sin(t+\pi)$?

1.2 Скорость

Посмотрим теперь, как изменяются $ \cos t$ и $ \sin t$ при изменении $ t$. Сделаем это для косинуса (ситуация с синусом аналогична).

Стрелка часов равномерно вращается, при этом в тот момент, когда конец стрелки прошел расстояние $ t$, проекция этого конца на ось абсцисс отмечает число $ \cos t$ (рис. 22а). Видно, что эта проекция совершает колебания от $ 1$ до $ -1$ и обратно. Далее, движение конца стрелки по окружности равномерно, но движение его проекции равномерным уже не будет. Чтобы это увидеть, нанесем на окружность положения конца стрелки через равные промежутки времени, а на ось абсцисс - их проекции (рис. 22б).

Рис. 22: Как меняется косинус.
\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t05.4}& \epsfbox{t05.5}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

Хорошо видно, что концов отрезка $ [-1;1]$ точки идут гуще, чем в его середине. Однако отмеченные точки - не что иное, как проекции конца стрелки через равные промежутки времени. Стало быть, в середине отрезка $ [-1;1]$ наша точка движется быстрее, чем у его краев. Это и понятно: в своих колебаниях по отрезку наша точка в концах разворачивается, а чтобы развернуться, надо сначала затормозить.

Задача 1.6   а) Если для каждого целого $ n$ найти число  $ \sin(\pi n/30)$, сколько различных чисел получится?

б*) Каким должно быть число $ a$, чтобы множество чисел вида $ \cos(\pi na)$, где $ n$ пробегает все целые числа, было конечно?

в**) Существует ли такое натуральное число $ n$, что $ \vert\cos n\vert<1/1000$?

Давайте подсчитаем поточнее, с какой скоростью движется проекция конца стрелки. Будем опять-таки рассматривать проекцию на горизонтальную ось, соответствующую косинусу. Мы считали, что стрелка движется со скоростью $ 1\, рад/час$ и имеет длину 1, так что ее конец движется со скоростью 1. Пусть в данный момент стрелка

Рис. 23:
\begin{figure}\epsfbox{t05.6}\end{figure}

повернута на угол $ t$ (рис. 23) Через маленькое время $ \tau $ конец стрелки переместится из точки $ A$ в точку $ B$, а его проекция - из точки $ M$ в точку $ N$. Найдем отрезок $ MN$. Для этого заметим, что угол $ CAB$ можно приближенно считать прямым, так как хорда $ AB$ мала. Поэтому

$\displaystyle \angle BAK\approx \pi/2- \angle CAK=\pi/2-t $

(углы измеряются в радианах). Следовательно,

$\displaystyle MN\approx AB\cos(\pi/2-t)=AB\cdot\sin t. $

Далее, так как хорда $ AB$ мала, ее длина приближенно равна длине дуги $ AB$, то есть $ \tau $. Следовательно, $ MN\approx \tau\cdot\sin t$, и средняя скорость проекции конца стрелки на участке от $ M$ до $ N$ приблизительно равна $ MN/\tau =\sin t$. На самом деле чем меньше, тем меньше ошибки наших приближенных вычислений и тем ближе средняя скорость к $ \sin t$. Как говорят, мгновенная скорость проекции конца стрелки в тот момент, когда стрелка прошла расстояние $ t$, равна $ \sin t$. Точнее говоря, эта мгновенная скорость равна $ -\sin t$, так как при возрастании пройденного расстояния от $ t$ до $ t+\tau$ проекция конца стрелки движется по оси абсцисс в ``отрицательном направлении'' (от больших чисел к меньшим). Говоря по-ученому, производная от функции $ y=\cos t$ - это функция $ y=-\sin t$.

       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования