Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги

Next: 6 Простейшие тригонометрические уравнения Up: Начальные свойства тригонометрических функций Previous: 4 Периоды тригонометрических функций

5 Формулы приведения

Нанесем на тригонометрическую окружность точку , соответствующую числу . Ее координатами будут $(\cos x;\sin x)$ .

Опустим из точки перпендикуляр на ось абсцисс. У нас получится прямоугольный треугольник (на рис. 33а он заштрихован).

Рис. 33: Точка

соответствует числу

, точка

соответствует числу $x+\pi /2$ .

$\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t09.1}& \epsfbox{t09.2}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}$

Теперь повернем этот треугольник на $90^\circ$ против часовой стрелки. Он займет положение, показанное на рис. 33б. Точка на этом рисунке соответствует числу $x+\pi /2$ (так как угол , очевидно, прямой) и имеет координаты $(-\sin x;\cos x)$ . Поскольку координаты точки на тригонометрической окружности - это косинус и синус соответствующего этой точке числа, получаем такие формулы:

$\displaystyle \cos(x+\pi/2)$	$\displaystyle =-\sin x;$
$\displaystyle \sin(x+\pi/2)$	$\displaystyle =\cos x.$

Поделим эти равенства одно на другое. Получится вот что:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (x+\pi/2)$	$\displaystyle =-\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x;$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits (x+\pi/2)$	$\displaystyle =-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x.$

Строго говоря, мы доказали эти формулы лишь в одном случае - если точка, соответствующая числу

, лежит в первой четверти. Проверьте сами, что эти формулы верны и в других случаях.

Итак, сравнив два положения треугольника на рис. 33а, мы получили несколько формул. Прикладывать этот треугольник к осям можно и разными другими способами, и каждый из этих способов дает свой набор формул. На рис. 34 изображены разные способы перекладывания треугольника, а под ними выписаны соответствующие формулы.

Рис. 34: Формулы приведения.

$\begin{figure}\mbox{\epsfbox{t09a.1}}\ \mbox{\epsfbox{t09a.2}}\\ \mbox{\epsf... ...box{t09a.6}}\\ \index{Формулы!приведения}\index{Приведения формулы}\end{figure}$

Задача 5.1 Заполните пустые места в подписях к чертежам на рис. 34.

Формулы, которые мы получили с помощью перекладывания треугольника, называются формулами приведения. Точнее говоря, пусть у нас есть число , равное $n \pi /2$ для какого-то целого числа . Формулами приведения называются формулы, связывающие тригонометрические функции от , или с тригонометрическими функциями от . Как видите, этих формул много, и заучивать их наизусть было бы неразумно. На практике, если требуется воспользоваться формулой приведения, удобно нарисовать картинку наподобие тех, из которых составлен рис. 34, и посмотреть по ней, как должна выглядеть формула. Кроме того, есть и мнемоническое правило, позволяющее выписать любую формулу приведения. Сформулируем это правило.

Пусть в левой части стоит тригонометрическая функция от

или

, где $a=n\pi/2$ . Если $\pi$ укладывается в числе

целое число раз (

, $\pi$ , $-\pi$ , $2\pi$ , $-2\pi$ ...), то в правой части надо записать ту же тригонометрическую функцию, что и в левой части. Если же $\pi$ укладывается в числе

не целое, а ``полуцелое'' число раз ( $a=\pi/2$ , $-\pi/2$ , $3\pi/2$ , $5\pi/2$ ...), то название тригонометрической функции надо заменить на похожее (синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот).

Если при

, принадлежащем первой четверти, левая часть положительна, то перед правой частью надо поставить знак плюс, в противном случае - знак минус.

Рис. 35:

$\begin{figure}\epsfbox{t09b.3}\end{figure}$

Вот как по этим правилам получается формула для $\sin(3\pi/2+x)$ : $3\pi/2$ скобках указывает, что название функции меняется, так что в правой части будет стоять косинус; так как при

, лежащем в первой четверти, $\sin(3\pi/2+x)$ отрицателен (рис. 35), перед косинусом будет стоять знак минус. В итоге: $\sin(3\pi/2+x)=-\cos x$ .

С помощью формул приведения тригонометрические функции любого числа можно выразить через тригонометрические функции чисел, лежащих на отрезке $[0;\pi/2]$ (от $0^\circ$ до $90^\circ$ , если измерять углы в градусах). Поэтому тригонометрические таблицы составляются только для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ ; в современных калькуляторах и компьютерах программы, вычисляющие тригонометрические функции, также предварительно ``приводят'' аргумент к промежутку $[0;\pi/2]$ .

Из множества формул приведения стоит, возможно, отметить такие:

$\displaystyle \index{Формулы!дополнительного угла}\index{Дополнительного угла формулы} \sin\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)$	$\displaystyle =\cos x;$	$\displaystyle \cos\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)$	$\displaystyle =\sin x;$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x;$	$\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits \Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x.$

Эти формулы называются ``формулами дополнительного угла''; для острых углов они нам уже знакомы.

Полезно также запомнить, как меняются тригонометрические функции при изменении знака аргумента:

$\displaystyle \index{Синус!нечетность}\index{Тангенс!нечетность} \index{Косинус!четность}\index{Котангенс!нечетность} \sin(-x)$	$\displaystyle =-\sin x;$	$\displaystyle \cos(-x)$	$\displaystyle =\cos x;$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (-x)$	$\displaystyle = -\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x;$	$\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits (-x)$	$\displaystyle =-\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x.$

Иными словами, синус, тангенс и котангенс - нечетные функции, косинус - четная функция.

Задача 5.2 Упростите выражения:

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \sin(x-\pi/2); & \sin(x-1988\pi); & \sin(... ...pi/2); & \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (-x-3\pi/2). \end{array}\end{displaymath}$

Задача 5.3 Вычислите:

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \cos(13\pi/6); & \sin(44\pi/3); & \cos(-2... ...^\circ); & \cos 1575^\circ;\\ \sin(-1200^\circ). \end{array}\end{displaymath}$

Задача 5.4 Выразите через тригонометрическую функцию числа, лежащего на отрезке $[0;\pi/2]$ :

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 19,3\pi; & ... ...46\pi/9;\\ \cos 114; & \sin (-9); & \sin 22\pi/7. \end{array}\end{displaymath}$

Задача 5.5 Определите знаки следующих выражений:

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \sin(127\pi/5); & \cos(-26,17\pi); & \mat... ...g}}\nolimits 83,1\pi;\\ \cos 17; & д) \sin(-46). \end{array}\end{displaymath}$

Задача 5.6 Пусть на плоскости задана система координат и точка с координатами . Запишите координаты точки, в которую переходит при следующих преобразованиях: а) симметрии относительно оси абсцисс; б) симметрии относительно оси ординат; в) симметрии относительно начала координат; г) повороте относительно начала координат на $90^\circ$ в положительном направлении; д) симметрии относительно прямой с уравнением .

МЦНМО

Написать комментарий