Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s3node3.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:50:30 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   Формулы сложения и их следствия Up:   Решение треугольников Previous:   2 Вокруг площади треугольника

3 Теорема синусов

Мы уже перевели на язык формул первый и третий признаки равенства треугольников (то есть мы можем восстановить все элементы треугольника, если даны две его стороны и угол между

Рис. 66:
\begin{figure}\epsfbox{t16.1}\end{figure}

ними или же три стороны). А теперь давайте выясним, какие формулы будут соответствовать второму признаку равенства треугольников, который гласит, что треугольник полностью определяется стороной и двумя прилежащими к ней углами. Чтобы получить соответствующие формулы, рассмотрим стороны $ a$ и $ b$ треугольника $ ABC$, выходящие из вершины $ C$, и опустим из $ C$ высоту $ h$ на сторону $ AB$ (рис. 66). Тогда $ h=a\sin\beta$ (независимо от того, будет ли чертеж таким, как на рисунке, или же угол $ \beta$ будет тупым или прямым). Точно так же можно записать равенство $ h=b\sin\alpha$. Значит, $ a\sin\beta=b\sin\alpha$, откуда, деля обе части на $ \sin\alpha\sin\beta$, получаем равенство $ a/\sin\alpha=b/\sin\beta$: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла будет одно и то же для стороны $ a$ и стороны $ b$. Однако то же самое можно сделать и для любых двух сторон, так что эти отношения для всех трех сторон равны. Получилось у нас вот что:

Теорема синусов (предварительная форма). Если в треугольнике против сторон $ a$, $ b$, $ c$ лежат углы $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ соответственно, то

$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}. $

Задача 3.1   К стороне $ a$ треугольника прилегают углы $ \beta$ и $ \gamma$. а) Найдите остальные стороны и углы этого треугольника. б) Найдите площадь этого треугольника.

Рис. 67:
\begin{figure}\epsfbox{t16.2}\end{figure}

В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним кое-что из геометрии.

Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника $ ABO$ на рис. 67 видно, что если дуга $ AB$ имеет угловую величину $ \alpha$, а радиус окружности равен $ R$, то $ AB=2\cdot AM=2R\sin(\alpha/2)$ (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна $ \beta=360^\circ-\alpha$ и $ \sin(\beta/2)=\sin(180^\circ-\alpha/2)=\sin(\alpha/2)$, так что формулой можно пользоваться для любых дуг).

Второй факт из геометрии, который нам понадобится, - это теорема о вписанном угле. Пусть на окружности даны дуга $ AB$ и точка $ M$, не лежащая на ней (рис. 68а),

Рис. 68: Вписанные углы
\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t16.3}& \epsfbox{t16.4}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

тогда угол $ AMB$ называется вписанным углом   9, опирающимся на дугу $ AB$. Теорема о вписанном угле гласит следующее: Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

Из теоремы о вписанном угле следует, в частности, что величина угла $ AMB$, где точки $ A$, $ M$, $ B$ лежат на одной окружности, полностью определяется дугой $ AB$ и не зависит от положения точки $ M$ вне дуги $ AB$: на рис. 68б углы $ AM_1B$, $ AM_2B$, $ AM_3B$, и т. д. равны.

Рис. 69:
\begin{figure}\epsfbox{t16.5}\end{figure}

Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем наконец уточнить теорему синусов. Именно, рассмотрим треугольник $ ABC$ с углами $ \angle A=\alpha$, $ \angle B=\beta$, $ \angle C=\gamma$ и сторонами $ AB=c$, $ BC=a$, $ CA=b$, и опишем около него окружность. Радиус окружности обозначим через $ R$ (рис. 69). В этой окружности длина хорды $ BC$ равна, как мы видели, $ 2R\sin(\mathop{BC}\limits^\smile/2)$ (имеется в виду та из дуг $ BC$, что не содержит точки $ A$). С другой стороны, по теореме о вписанном угле $ \mathop{BC}\limits^\smile/2=\alpha$, хорда же $ BC$ - не что иное, как сторона $ a$ треугольника $ ABC$. Подставляя эти равенства в выражение для $ BC$, получаем, что $ a=2R\sin\alpha$, или $ a/\sin\alpha=2R$. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:

Если в треугольнике против сторон $ a$, $ b$, $ c$ лежат углы $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ соответственно, то

$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma} =2R, $

где $ R$ - радиус окружности, описанной около треугольника.

Задача 3.2   Треугольник с углами $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ вписан в окружность радиуса $ R$. Найдите площадь треугольника.

Задача 3.3   а)Докажите, что площадь треугольника со сторонами $ a$, $ b$ и $ c$, вписанного в окружность радиуса $ R$, равна $ abc/4R$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами $ a$, $ b$ и $ c$.

Задача 3.4   Сторона квадрата $ ABCD$ равна $ a$. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину $ A$, центр квадрата и середину стороны $ BC$.

Задача 3.5   В окружности проведены три хорды, каждая из которых пересекается с двумя другими. Каждая из этих хорд делится точками пересечения на три отрезка равной длины $ a$. Найдите радиус окружности.

Задача 3.6   Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны $ R$. Найдите стороны четырехугольника.

Задача 3.7   В круг радиуса $ R$ вписана трапеция, основания которой видны из центра под углами $ \alpha$ и $ \beta$. Найдите площадь трапеции.

Задача 3.8   Диагонали трапеции, вписанной в круг радиуса $ R$, образуют с ее боковыми сторонами углы $ \alpha$ и $ 2\alpha$. Найдите площадь трапеции.

Задача 3.9   Вокруг треугольника $ ABC$ со стороной $ BC=a$ и углами $ \angle ABC=\beta$ и  $ \angle ACB=\gamma$, описана окружность. Биссектриса угла $ A$ пересекает окружность в точке $ K$. Найдите длину хорды $ AK$.

Задача 3.10   Внутри угла величины $ \alpha$ лежит точка, находящаяся на расстояниях $ m$ и $ n$ от сторон угла. Найдите ее расстояние от вершины угла.

       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования