|
Рассмотрим еще одну
реализацию группы  2. Пусть {X= } --- множество
действительных чисел,
преобразование g --- центральная
симметрия относительно нуля --- g
x  -x (g и
тождественное преобразование
числовой прямой образуют группу G=2).
Множество функций, определенных на , обозначим
через F().
Заметим, что действие группы G
продолжается и на F(): если на функцию   F()
подействовать элементом g, то
получится функция g такого вида:
(g)(x)=(-x)=(gx)
(как действует тождественное
преобразование, объяснять,
наверное, не нужно).
Среди всех функций на
прямой выделяются функции,
обладающие некоторой симметрией:
четные функции (такие функции , для которых
выполнено условие (x)=(-x)
для всех x, или, в наших
обозначениях, g=) и
нечетные (для которых (x)=-(-x), т. е. g=-). С
любой функцией (x) связаны две функции:
ч=((x)+(-x))/2=((x)+(g)(x))/2
и
н=((x)-(-x))/2= ((x)-(g)(x))/2.
Легко видеть, что ч --- четная
функция, а н
--- нечетная, причем
(x)=ч(x)+н(x).
Аналогичное утверждение верно и
для произвольного множества X
(не обязательно ), на котором действует
группа преобразований 2: каждая
функция F(X), : X,
может быть представлена в виде
суммы четной и нечетной функций.
Действительно, если из предыдущего
абзаца изъять все формулы,
использующие конкретный вид
преобразования g, то
проведенное рассуждение
становится верным и в случае
произвольного множества.
Следующий раздел
Написать комментарий
|
