Общее понятие группы

Пусть G --- некоторая группа преобразований, состоящая из конечного числа элементов: G={e,g₁,g₂,...,g_n}. Поскольку произведение любых двух элементов группы тоже элемент группы, можно составить таблицу умножения, или таблицу Кэли (табл. 1, на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит элемент g_i g_j).

	e	g1	...	gj	...	gn
e	e	g1	...	...	...	...
g1	g1	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...	...
gi	...	...	...	gi gj	...	...
...	...	...	...	...	...	...
gn	...	...	...	...	...	...

Пример 1. (К задаче 1.) В этой задаче множество X --- расположение монет на столе, а группа преобразований состоит всего из двух элементов: G={e,g}, где e, как обычно, тождественное преобразование, g --- преобразование симметрии относительно центра стола. Таблица Кэли для этой группы выглядит очень просто (табл. 2). Понятно, что g g=e, так как дважды примененная центральная симметрия дает тождественное преобразование.

Пример 2. (К задаче 2.) Здесь множество X состоит из пар точек (A,B), а группа преобразований --- из тождественного преобразования e и преобразования g, которое пару (A,B) переводит в пару (A',B), где A' --- точка, симметричная точке A относительно прямой l. Легко видеть, что таблица Кэли этой группы выглядит точно так же, как в предыдущем примере.

Пример 3. (К задаче 4'.) В этой задаче, как мы уже знаем, G={e,g=(xy)}. У этой группы такая же таблица Кэли, как и у групп в двух предыдущих примерах.

Таким образом, в совершенно разных ситуациях, при совершенно разных множествах X и совершенно разном действии преобразований возникают группы преобразований с одинаковыми таблицами умножения. Это наблюдение приводит нас к понятию абстрактной группы.

Абстрактная группа возникает в тот момент, когда мы забываем о множестве X, о том, как именно действуют преобразования, и рассматриваем только множество G, на котором определено умножение.

Определение группы

Пусть задано некоторое множество G произвольной природы, на котором определена операция умножения, т. е. закон, сопоставляющий любой паре a, b элементов G некоторый элемент множества G, называемый произведением a и b и обозначаемый через a*b. Предположим, что эта операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

I. (Условие ассоциативности.) Для любых трех элементов a, b и c множества G справедливо соотношение

III. (Условие существования обратного элемента к каждому элементу.) Для любого элемента a множества G существует такой элемент b множества G, что

Множество G с операцией умножения, удовлетворяющей этим трем условиям, называется группой, а сами эти условия --- аксиомами группы.

Зачем нужно общее понятие группы? Почему бы не ограничиться изучением конкретных групп преобразований? Можно ответить вопросом на вопрос: а зачем нужны абстрактные числа, а не отдельные числа для подсчета яблок, отдельные --- для подсчета калош? Группы преобразований с одинаковой таблицей Кэли и проявляют себя одинаково, хотя и действуют на разные множества.

С этой точки зрения, группы, рассмотренные в предыдущих трех примерах, --- это одна и та же абстрактная группа. У этой группы есть традиционное обозначение --- ₂.

Задача. Докажите, что группа перестановок из трех элементов (которая появилась в задаче 4) и группа самосовмещений правильного треугольника (частный случай группы самосовмещений правильного n-угольника) имеют одинаковые таблицы Кэли, т. е. это одна и та же абстрактная группа.

Следующий раздел