|
Посвящается моему
учителю Александру
Александровичу Кириллову
Разговор о симметрии
начнем с рассмотрения четырех
простых и достаточно известных
задач. Задачи эти относятся к
разным областям математики и на
первый взгляд совершенно непохожи.
Задача 1 (игровая). Двое
по очереди кладут одинаковые
монеты на круглый стол, причем
монеты не должны накрывать друг
друга. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто выигрывает при
правильной игре? (Иначе говоря, у
какого из игроков есть выигрышная
стратегия?)
 |
| Рис. 1 |
Решение. При правильной игре
выигрывает тот, кто начинает, ---
первый игрок. Вот его стратегия.
Первым ходом он кладет монету в
центр стола. Затем после каждого
хода второго первый кладет монету симметрично
монете, только что положенной
вторым, относительно центра стола
(рис. 1). Очевидно, если возможен
очередной ход второго игрока, то
возможен и симметричный ему
ответный ход первого.
Следовательно, первый игрок
побеждает.
Задача 2 (геометрическая).
На плоскости дана прямая l и
точки A и B по одну сторону от
нее. Нужно найти на прямой такую
точку C, чтобы сумма длин
отрезков AC и BC была
минимальна.
 |
| Рис. 2 |
Решение. Построим точку
A', симметричную A
относительно прямой l.
Заметим, что для любой точки C,
лежащей на прямой l, AC=A'C.
Поэтому
AC+BC=A'C+BC.
В силу неравенства
треугольника сумма A'C+BC
минимальна тогда и только тогда,
когда точка C лежит на отрезке A'B
(рис. 2). Итак, C=A'B  l.
Задача 3 (векторная). На
плоскости дан правильный
n-угольник A1A2...
An, точка O --- его
центр (рис. 3). Найти вектор  .
 |
| Рис. 3 |
Решение. Введем
обозначения:  = A1OA2,
 ---
поворот на угол с центром в точке O (т.
е.  есть вектор, полученный из
вектора указанным поворотом). Тогда,
поскольку многоугольник A1A2...
An правильный,
Как известно, сложение векторов и
поворот перестановочны: если сумму
нескольких векторов повернуть на
угол и,
наоборот, каждый из
векторов-слагаемых повернуть на
тот же угол, а затем сложить,
результат будет один и тот же. Кроме
того, сумма векторов не зависит от
их порядка. Поэтому
Итак, вектор  не меняется при
повороте на угол 0o< <360o.
Значит, = .
Задача 4
(алгебраическая). При каких a
и b система
уравнений
имеет ровно одно решение?
Решение. Система, как видите,
достаточно сложная, и решить ее для
всех значений a и b (чтобы
потом выбрать из них те, при которых
решение единственно) школьными
методами невозможно. Но это и не
нужно: найти требуемые значения a
и b можно гораздо проще. Заметим,
что вид нашей системы не изменится,
как бы мы ни переставляли
неизвестные x, y и z. Иными
словами, если тройка чисел (x0,y0,z0)
--- решение системы, то решениями
будут и тройки, полученные из нее
всевозможными перестановками: (x0,z0,y0),
(y0,x0,z0),
(y0,z0,x0),
(z0,x0,y0),
(z0,y0,x0).
Решение может быть единственным
только в том случае, когда x0=y0=z0.
Из первого уравнения х0=y0=z0=1.
Подставляя эти значения x, y
и z во второе и третье уравнения,
получаем, что a=b=3. Осталось
только проверить, что при этих a
и b у системы действительно нет
других решений, кроме (1,1,1).
Что же общего у этих четырех
задач? Важным моментом в решении
каждой из них было наличие
некоторого преобразования,
"сохраняющего" задачу (в
первой задаче это была центральная
симметрия, во второй --- осевая
симметрия, в третьей --- поворот, в
четвертой --- перестановки
неизвестных); относительно этого
преобразования условие задачи было
симметрично. Это и есть
ключевая идея в современном
представлении о симметрии: понятие
симметрии начинается с понятия группы
преобразований.
Следующий раздел
Написать комментарий
|
