4. Математическое образование в западных странах

4.1. Основные проблемы в математическом образовании

Тенденции в математическом образовании, обозначившиеся в восьмидесятые годы, продолжают оказывать влияние и по сей день. На международных конференциях обычно выражается удовлетворение идущими переменами, но на местах положение иное.

На слабость современных учащихся жалуются все. Самый громкий голос обвинения принадлежит университетским профессорам. Они недовольны прежде всего образованием в средней школе. В школах интерес к изучении математики невысок -- в отличие от того, что было во времена "новой математики" или ранее. Часто студенты не хотят выбирать математику в качестве элективного экзамена в выпускных классах, а иногда даже вообще не берут самого курса и не изучают ее вообще. На выпускных школьных экзаменах оценки "отлично" и "хорошо" потеряли свой исходный смысл. Обычно их ставят только для того, чтобы улучшить общее впечатление от экзамена. Порой их ставят учащимся, набравшим 10% от максимального числа баллов. Для математических факультетов набрать студентов высокого уровня стало проблемой. Иногда даже абитуриентов на математические специальности оказывается так мало, что невозможно организовать для них нормальное обучение. Не все студенты, поступающие на математические факультеты, их заканчивают: значительный процент поступивших переходят на другие факультеты или вообще уходят из университета. С подобными трудностями сталкиваются в университетах и смежные специальности (например, физика). Все это распространяется и на педагогические институты. Это и есть главные причины низкого уровня учителей математики и физики. Качество преподавания естественных наук и математики в начальной школе также вызывает нарекания.

Бертран Рассел писал: "Когда мне было 11 лет, я начал изучать Евклида со своим братом. Это было одним из важнейших событий моей жизни, столь же яркое, как первая любовь" [15, с. 30]. Одной из проблем является то, что в наше время трудно вызвать у школьников такой интереса к математике.

Проблемы в математического образовании, на которые мы жалуемся, лежат на поверхности, но это лишь симптомы более глубоких проблем.

4.2. Размышления об изменениях в школьной математике

Существует множество недостатков в школьном образовании. Главным является то, что, начиная с "новой математики", в нем произошло очень много изменений.

Со времен "новой математики" исчезли разные учебники для разных ветвей математики. Еще до эры "новой математики" были попытки ввести в школе единый курс математики. В начале века к этому стремились американские учителя. В школах штата Иллинойс возникло преследующее эту цель "чикагское движение". Это движение подвергалось критике, так как оно не предполагало целостного изучения отдельных разделов математики, в частности геометрии, в их целостности [16]. В самом деле, чтобы учиться и учить математике, необходима алгебра, а чтобы учить алгебру, нужна геометрия, но мы можем привлечь эти знания из других разделов математики, только если сами эти разделы изучаются целостно. Такие движения, как "чикагское движение", были модными в то время, но недолговечными.

Одной из главных идей "новой математики" было объединение математической программы на основе абстрактных концепций и структур. На практике же каждый учебник все равно подразделялся на различные разделы. Попытки объединить различные темы были очень слабыми и искусственными. Обычным делом было видеть в одном одном учебнике до двадцати разных тем, в том числе и геометрических. Стремление отразить побольше тем в одном учебнике приводило к тому, что учебники представляли собой множество разрозненных осколков из различных тем, должным образом не развитых и не образующих какой-то раздел математики.

Движение "Назад к первоосновам" не вернуло в школьную программу евклидову геометрию. Все еще продолжалось использование одного-единственного учебника для всех ветвей математики, в том числе и геометрии. Для каждой страны свойственны свои попытки и подходы для включения в образование решения задач, использования калькуляторов, и компьютеров, изучения информатики. Сегодня авторы учебников -- в основном учителя средних, а иногда и начальных школ (если речь идет об учебниках для начальной школы). Итак, уже в течение 30--40 лет алгебра, анализ, планиметрия, тригонометрия, стереометрия и арифметика изучаются иначе, чем до "новой математики". "Решение задач" стало лозунгом для математических программ и настолько привлекло методистов, даже не имеющих настоящего математического образования, что порой они брались подбирать такие задачи. "Решение задач" в том виде, в котором оно представлено в современных учебниках, не связано с определенной математической темой. Более того, часто эти задачи не расчитаны на возраст учеников, для которых был написан данный учебник. Иногда они представляют собою загадки, решение которых требует хитростей и фокусов. Но существует множество противоречий, связанных с "решением задач". Продемонстрируем одно из них -- пример из школьного учебника восьмидесятых годов. Требуется найти площадь прямоугольного треугольника, у которого длина гипотенузы равна 8 см, а опущенной на нее высоты -- 5 см. В течение многих лет правильным решением считалось умножить 5 на 8 и поделить на 2, чтобы найти так "площадь" 20 см². Этот пример показывает, как деградировало математическое образование. Ни лозунг "решение задач", ни "математика в повседневной жизни" не могут извинить просьбы к 13-летним ученикам (7 класс) найти площадь несуществующего треугольника. Какое же извинение мы можем найти для учителей математики? Как они могли не заметить такой ошибки? Несмотря на то, что в современных учебниках много интересных задач, ошибки такого рода и в них не являются редкими.

4.3. Противоречия в математическом образовании

Интересно, что среди западных методистов распространяются странные концепции. Согласно одной из них школьная математика -- это нечто отличное от "просто математики" [14, с.10]. Но те же методисты предлагают школьникам задачи, решение которых требует математических познаний. Часто такую задачу не может решить ни один ученик, как, например, в задании найти точку внутри треугольника, которая его делит на три треугольника равной площади [12]. Аналогичное противоречие наблюдается и в следующем примере. Некий аспирант писал диссертацию по методике преподавания математики. Его исследование основано на анкетах, предлогаемых ученикам средних школ для исследования их мнений. В 1998 году на семинаре его участникам было предложено нарисовать октаэдр. Когда молодой ученый понял, что у него не получается, он написал, что не умеет рисовать пространственные тела. Противоречие здесь заключается в том, что в диссертации он говорит о "решении задач" -- так что бы ему не нарисовать октаэдр?! Разве это не связано со школьной математикой? В математике всегда решают задачи. В так называемом "решении задач" достаточно дать ответ однословно, или в форме числа, или рассказать решение устно. А в настоящих математических задачах решение задачи должно сопровождаться некоторым математическим текстом.

Даже в исследовании математического образования нам встречаются такие странные концепции. После проведения сравнительного тестирования в рамках проекта "Кассель" самые лучшие результаты получили венгерские школьники, а финские -- самые худшие. В отчете об исследовании отмечается, что финские школьники обгоняли венгерских в тех заданиях, где математичческое содержание было невелико. "Финские школьники более, чем школьники других стран, рассматривают математику как открытую систему." [13, с. 7]. Это было утверждение специалистов по преподаванию математики, сделанное на основе сравнительного анализа результатов тестирования. Следующий пример указывает на главную проблему образования в западных странах. При сравнительном анализе российских и финских школьников было отмечено, что российские школьники учатся доказывать утверждения, тогда как финские студенты учатся использовать доказанные утверждения [5, с. 118]. В последнее время часто принято (не только в Финляндии) преподавать математику как набор готовых правил. Возможности, которые дает использование компьютеров в математике, вынудило Национальный совет по образованию (США) начать реформы по построению так называемой "стандартной программы". Основной предпосылкой начала этой реформы было предположение, что математика стала более вычислительной, чем теоретической. Этот факт как бы игнорирует то, что компьютеры -- порождение теоретической математики. Кроме того, нельзя забывать, что математика -- это особая культура, и не существует укороченного пути к культуре. Математика -- результат работы ученых на протяжении более чем 2500 лет. Мы должны помнить, что математика покоится на плечах ученых, живших в докомпьютерную эру. Разве нуждался Ньютон в компьютерах, чтобы делать свои открытия? Нельзя забывать, что современный ребенок должен так же, как и прежде, развивать свое формальное и логическое мышление. Поэтому математическое мышление -- необходимо для развития ребенка.

Следующий раздел