многочлен с целыми коэффициентами
27.11.2000 0:00 |
МЦНМО
Докажите, что если коэффициенты многочлена f(x) - целые числа и
если f(0) и f(1) нечетны, то у многочлена f нет целых корней.
Хочу подсказку
Решение:
Заметим, что f(0) равно свободному члену многочлена f, а f(1)
равно сумме всех коэффициентов многочлена f.
Если x - четное число, то четность
числа f(x) совпадает с четностью числа f(0)
(так как при вычислении f(x) все слагаемые,
за исключением свободного члена, будут четными),
если же x - нечетное число, то четность
числа f(x) совпадает с четностью числа f(1)
(так как при вычислении f(x) четность каждого
слагаемого совпадает с четностью соответствующего коэффициента).
Таким образом, при любом целом x значение f(x) будет нечетным,
в частности, оно не равно 0. Отсюда следует, что многочлен не
имеет целых корней.
Написать комментарий
|
