|
Важно, чтобы простейшая
модель была структурно
устойчивой, т. е. чтобы выводы
выдерживали малое изменение
параметров и функций, описывающих
модель. Описанная выше модель
обладает этим свойством
структурной устойчивости. Пример
модели, не обладающей этим
свойством, -- знаменитая модель
Лотка-Вольтерра борьбы за
существование (рис. 8),
 =ax-cxy,
 = -bx+dxy.
В этой модели x -- число
карасей, y -- число щук (желающие
могут считать, что x --
трудящиеся, а y -- организованные
преступники). Коэффициент a
описывает скорость естественного
прироста числа карасей в
отсутствие щук, b -- естественное
вымирание щук, лишенных карасей.
Вероятность взаимодействия карася
и щуки считается пропорциональной
как количеству карасей, так и числу
щук (xy). Каждый акт
взаимодействия уменьшает
популяцию карасей, но способствует
увеличению популяции щук (члены -cxy
и dxy в правой части уравнения).
 |
| Рис. 8. Эволюция популяции карасей и щук в модели Лотка-Вольтерра. |
Математический анализ этой
(жесткой) модели показывает, что
имеется стационарное состояние (A
на рис. 8), всякое же другое
начальное состояние (B) приводит
к периодическому колебанию
численности как карасей, так и щук,
так что по прошествии некоторого
времени система возвращается в
состояние B.
При малом изменении
модели
=ax-cxy+ f(x,y),
= -bx+dxy+g(x,y), ?
<<1,
к правым частям добавляются
малые члены (учитывающие, например,
конкуренцию карасей за пищу и щук
за карасей). В результате вывод о
периодичности (возвращении системы
в исходное состояние B),
справедливый для жесткой системы
Лотка-Вольтерра, теряет силу. В
зависимости от вида малых поправок f
и g возможны, например, сценарии
1-3 рис. 9 (которые уже структурно
устойчивы).
 |  |  |
| Рис. 9. Мягкая структурно устойчивая модель борьбы за существование. |
В случае 1 равновесное
состояние A устойчиво. При любых
других начальных условиях через
большое время устанавливается
именно оно.
В случае 2 система "
идет в разнос". Стационарное
состояние неустойчиво. Эволюция
приводит то к резкому увеличению
числа бандитов, то к их почти
полному вымиранию (вследствие того,
что они настолько ограбили
трудящихся, что взять уже нечего).
Такая система в конце концов
попадает в область столь больших
или столь малых значений x и y,
что модель перестает быть
применимой: происходит изменение
законов эволюции, т. е. революция.
В случае 3 в системе с
неустойчивым стационарным
состоянием A устанавливается с
течением времени периодический
режим C (в котором, скажем,
радикалы и консерваторы
периодически сменяют друг друга). В
отличие от исходной жесткой модели
Лотка-Вольтерра, в этой модели
установившийся периодический
режим не зависит от начального
условия. Первоначально
незначительное отклонение от
стационарного состояния A
приводит не к малым колебаниям
около A, как в модели
Лотка-Вольтерра, а к колебаниям
вполне определенной (и не зависящей
от малости отклонения) амплитуды.
Возможны и другие структурно
устойчивые сценарии (например, с
несколькими периодическими
режимами).
Вывод: жесткую модель
всегда надлежит исследовать на
структурную устойчивость
полученных при ее изучении
результатов по отношению к малым
изменениям модели (делающим ее
мягкой).
В случае модели
Лотка-Вольтерра для суждения о том,
какой же из сценариев 1-3 (или иных
возможных) реализуется в данной
системе, совершенно необходима
дополнительная информация о
системе (о виде малых поправок f
и g в нашей формуле).
Математическая теория мягких
моделей указывает, какую именно
информацию для этого нужно иметь.
Без этой информации жесткая модель
может привести к качественно
ошибочным предсказаниям. Доверять
выводам, сделанным на основании
жесткой модели, можно лишь тогда,
когда они подтверждаются
исследованием их структурной
устойчивости.
Следующий
раздел
Посмотреть комментарии[1]
|
