Памяти Александра Даниловича Александрова (1912--1999)

Введение

Один молодой человек после прочтения книги Александра Яковлевича Хинчина " Три жемчужины теории чисел" спросил автора этих строк, а имеются ли жемчужины в геометрии. Последовал ответ: несомненно имеются. Прекрасных теорем в геометрии с лихвой бы хватило на великолепное ожерелье. Мы здесь расскажем о двух изумительных теоремах, которые несомненно являются жемчужинами теории многогранников. Одна из них была доказана великим французским математиком Огюстеном Луи Коши, другая принадлежит нашему выдающемуся соотечественнику академику Александру Даниловичу Александрову. Доказательство обеих теорем опирается на знаменитую теорему Эйлера о соотношении между количеством вершин, ребер и граней в выпуклом многограннике. Это ведь тоже жемчужина, и еще какая!

Теорема Коши (доказанная в 1813 году) говорит о том, что из данных граней, взятых в определенном порядке, можно склеить единственный (с точностью до движения) выпуклый многогранник. Каждый клеил или держал в руках картонную модель многогранника и ощущал ее жесткость. Это свойство многогранников может вызвать удивление, особенно если сопоставить его с тем, что среди многоугольников жестким является лишь треугольник. Шарнирный многоугольник с большим числом сторон подвижен. Чтобы задать многоугольник однозначно, требуется знать не только стороны, но и углы. Многогранник же своими гранями задается однозначно, несмотря на то что каждые две смежные по ребру грани, взятые сами по себе, легко поворачиваются вокруг общего ребра, словно страницы книжки вокруг корешка. В процессе склеивания модель будущего многогранника может долго сохранять подвижность. Но, как только заклеивается последняя грань, модель становится жесткой. Доказательство теоремы Коши элементарное (что не означает " легкое"), и единственный не школьный материал, который используется в доказательстве, --- это и есть знаменитая теорема Эйлера о многогранниках.

Итак, теорема Коши утверждает единственность выпуклого многогранника, который можно склеить из развертки граней данного многогранника. Теорема Александрова описывает необходимые и достаточные условия на развертку, при которых из нее можно склеить выпуклый многогранник. В отличие от теоремы Коши, теорема Александрова не является интуитивно очевидной. Как мы увидим позже, многие развертки, удовлетворяющие условиям этой теоремы, кажутся абсолютно непригодными для того, чтобы клеить из них какой-либо многогранник. И лишь уверенность в теореме Александрова побуждает искать и в итоге находить тот многогранник, который склеивается из данной развертки.

Доказательство теоремы Александрова совсем не элементарно. Оно, в частности, использует одну важную теорему из топологии. Найти элементарное изложение нам не удалось.

Брошюра разделена на две части. Сначала излагаются основные определения и теоремы, связь между ними и иногда идеи доказательств. Чтобы не перегружать эту часть, доказательства вынесены во вторую часть --- Приложение.

Следующий раздел