Н.Бейли
МАТЕМАТИКА В БИОЛОГИИ И МЕДИЦИНЕ
Перевод с английского Е.Г. КОВАЛЕНКО.
Предисловие Э.Л. Наппельбаума.
ИЗДАТЕЛЬСТВО "МИР" Москва 1970.
Источник - Doctor.ru: для врачей: биометрика

Глава 2. РОЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

2.1. БИОЛОГИЧЕСКАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ И ВЕРОЯТНОСТЬ.

"Если для вашего эксперимента нужна статистика, вам следовало бы провести его получше",- сказал Резерфорд. Хотя эти слова, возможно, и были справедливы для многих разделов физики в прошлом, к современной биологии и медицине это, безусловно, не относится. Даже в так называемых точных науках наличие "ошибок" измерений признавалось уже давно, однако большинство исследователей исходило из того, что путем усреднения результатов нескольких повторных измерений такие ошибки можно свести к пренебрежимо малой величине. В большинстве разделов физики и химии действительно можно отбрасывать не представляющие интереса отклонения и, формулируя те или иные гипотезы и прогнозы, исходить из того, что результаты любых измерений можно считать более или менее точными. Этим не отрицается тот факт, что в некоторых случаях, например при описании радиоактивного распада и броуновского движения, а также в квантовой теории, случайный характер самих физических явлений требует применения специальных методов исследования, основанных на теории вероятностей.

В биологии и медицине изменчивость выражена гораздо сильнее и имеет большее научное значение. В разд. 1.3 мы уже уделили некоторое внимание кривым веса человека. При повторных измерениях веса одного и того же человека, проводимых в одно и тоже время, можно легко обнаружить небольшие колебания результатов, однако они не представляют особого интереса. Если же повторные измерения проводить через короткие промежутки времени, то можно обнаружить колебания вследствие прибавления или потери веса за счет приема пищи, дыхания, выделений и т. д. Все эти аспекты, безусловно, имеют важное значение с биологической точки зрения, однако по сравнению с более значительными изменениями, происходящими, скажем, за неделю или за месяц и связанными с общим процессом роста, такие кратковременные изменения могут считаться несущественными. Пойдя дальше и сравнив значения соответствующих численных показателей у различных индивидуумов, мы немедленно обнаружим изменчивость внутри популяции. Известно, что отдельные представители любого данного вида могут значительно отличаться друг от друга по весу или размерам тела, и обычно идея описания популяции средними показателями не встречает серьезных возражений. Вес и рост - настолько знакомые для большинства из нас показатели, что усредненные кривые роста или таблицы среднего веса для людей определенного возраста, пола и роста принимают за стандарты, позволяющие судить о степени отклонения от нормы в каждом конкретном случае.

Однако даже у таких простых показателей, как рост и вес, наблюдаются иногда очень большие колебания вследствие обычной естественной изменчивости. Автору известно об одном исследовании веса младенцев в течение первых десяти дней пребывания в родильном доме, которое проводилось для сравнения результатов кормления грудью и результатов искусственного кормления с учетом таких факторов, как вес ребенка при рождении, его пол, возраст матери и т. п. Кривая среднего веса для нескольких сотен нормальных детей, получавших искусственное питание, в течение всего периода исследования непрерывно поднималась вверх. Средний вес младенцев, вскармливаемых грудью, в первые день-два резко падал, как и ожидалось, а затем начинал быстро расти и уже через несколько дней совпадал с весом детей-искусственников. 

Можно было бы сказать, что это служит наглядной демонстрацией способности организма преодолевать первоначальную нехватку пищи и достигать устойчивой скорости роста. Однако примечательно то, что, хотя на основе кривых для средних значений можно попытаться сделать какие-то общие выводы, данные, записанные для отдельных младенцев, оказываются совершенно хаотичными: одни дети непрерывно прибавляли в весе, другие непрерывно теряли, а у остальных вес то возрастал, то снижался, т. е. наблюдались резкие колебания. При этом никакой очевидной связи между этими различными случаями и различными исследовавшимися факторами обнаружить не удалось. Упорядоченность и регулярность легко обнаруживаются лишь в средних значениях, взятых по большому числу индивидуумов. Поэтому при использовании общей кривой среднего веса в качестве стандарта для суждения о развитии отдельного новорожденного необходимо проявлять большую осторожность.

Исключительно важно учитывать возможные отклонения, чтобы основная математическая модель определяла не только средний вес, которого следует ожидать при данном возрасте ребенка и при данном режиме питания, но и позволяла измерить имеющееся отклонение от нормы.

Применение статистических методов для получения выводов на основе данных об изменчивости рассматривается в разд. 2.2. Здесь же нас интересует лишь необходимость измерения изменчивости. В разд. 1.4 уже упоминалось о распространенном мнении, согласно которому многие биологические явления настолько сложны и разнообразны, что математический анализ в этой области неизбежно приведет к чрезмерным упрощениям, дающим ошибочные результаты. Однако истина состоит совсем в другом: если не предпринимать серьезных попыток разработать надлежащие математические методы, то это только уменьшит возможность точного описания биологических процессов.

Как хорошо известно, одним из самых плодотворных способов описания характера изменчивости является применение соответствующего закона распределения, который определяет вероятность того, что результат измерения какого-либо параметра индивидуума, выбранного случайным образом, будет иметь любое заданное значение или лежать в определенном интервале значений. Такие непрерывные параметры, как рост, вес и т. п., нередко удовлетворительно описываются кривой нормального, или гауссова, распределения (несмотря на то, что теоретически эта кривая лежит в интервале от -Г до +Г )

Y = (s)^-1exp(-(x - m )²/2s²) (-Г < x < +Г ) , (2.1)

где m - математическое ожидание, а s - среднее квадратическое отклонение. Если такая кривая применяется для описания распределения людей по росту, то вероятность того, что рост данного человека находится в интервале от x₁ до x₂, равна

Нормальное распределение является одним из простейших с точки зрения математики. Кроме того, существует ряд теоретических оснований, позволяющих предполагать, что многие распределения, встречающиеся на практике, должны быть близки к нормальному, и это предположение действительно часто подтверждается. Этих соображений вполне достаточно для того, чтобы нормальное распределение заняло важное положение в теории вероятностей и математической статистике.

Для описания дискретных величин в тех случаях, когда имеется ограниченное число альтернативных наблюдений (например, таких, как число детей-альбиносов в семье данного состава), может оказаться пригодным биномиальное распределение. Если имеется п индивидуумов и вероятность того, что какой-либо из них обладает определенным признаком, равна р (независимо от других индивидуумов), то вероятность наблюдения r индивидуумов с данным признаком имеет биномиальное распределение и равна

n!/(r!(n-r)!) p^r (1 - p)^n-r(0 <= r <= n) (2.2)

Распределение числа радиоактивных частиц, испускаемых за данный промежуток времени некоторой большой массой радиоактивного вещества, числа дорожно-транспортных происшествий, происходящих за данный промежуток времени при определенных условиях, или числа лейкоцитов, наблюдаемых в одном квадрате гемоцитометра, лучше всего описывается законом Пуассона, согласно которому вероятность наблюдения r событий равна

e^-m m^r / r! (0 <= г< +Г), (2.3)

где т - среднее значение случайной величины.

Мы привели всего три наиболее распространенных и наиболее простых распределения из числа встречающихся на практике, однако с их помощью можно охватить поразительно большое множество случаев естественной изменчивости в биологии и медицине, не обращаясь к более сложным описаниям. Некоторое представление о содержании и возможностях теории распределений можно почерпнуть из книг по теории вероятностей (см., например, книгу Феллера [22]) или математической статистике (см., например, книгу Кендалла и Стюарта [38]).

Применение распределений вероятностей - отнюдь не новый способ описания биологической изменчивости. Кетле, работавший вначале в области астрономии и метеорологии, был, по-видимому, первым, кто применил нормальное распределение для описания биологического материала (он ввел его при изучении распределения людей по росту, о чем уже говорилось выше). Позже Фрэнсис Гальтон [27] широко применял кривую нормального распределения при статистическом исследовании наследственности, и она сыграла фундаментальную роль в глубокой работе Карла Пирсона по вопросам биометрии, написанной в конце прошлого века. С тех пор различные типы распределений начали применять в самых разнообразных областях биологии - в молекулярной биологии, таксономии, экологии, генетике, психологии и т. д.

Как с исторической, так и с логической точки зрения распределения вероятностей представляют собой просто более совершенные варианты математических моделей, рассмотренных в гл. 1. Они позволяют свести огромное многообразие наблюдений к одному закону, который можно охарактеризовать очень небольшим числом параметров: двумя в случае нормального распределения, одним-единственным в случае пуассоновского распределения и т. д. Это дает возможность более точно описать изменяющиеся явления и облегчает их понимание. 

По существу это то, что Р. Фишер называл "редукцией данных". Численную информацию можно точно записывать, хранить, передавать и обсуждать. Затем эти описания можно преобразовать к такому виду, который и принято рассматривать как собственно математическую модель, т. е. аналог реальной действительности, наделенный такой структурой, которая позволяет применять обычные методы научного исследования. Это означает, что с помощью модели выводятся следствия и прогнозы, справедливость ее проверяется по соответствующим наблюдениям и в случае необходимости в модель вносятся изменения. Проверка моделей связана со статистическими методами, которые будут рассматриваться в следующем разделе. Более детальное изложение всего процесса научного исследования мы отложим до гл. 3.

Разумеется, математические модели (даже вероятностные) часто не удовлетворяют биологов, которые считают их чрезмерно упрощенными. Для специалиста в области экологии современные вероятностные модели конкуренции между видами (см. гл. 8) вполне могут показаться слишком примитивными. Однако все дело в том, что такой подход позволяет более уверенно охватить все многообразие и сложность природы. При использовании современных математических и статистических методов и вычислительной техники метод построения математических моделей может быть развит до такой степени, что появится возможность сделать для биологии то, что математическая физика сделала для физики.

<--- Назад   Содержание   Далее --->