Задачки

Условие

Назовем натуральные числа близкими, если их десятичная запись содержит одно и то же число значащих цифр и отличается ровно в одном разряде на величину, по модулю равную 1. Докажите, что если трехзначное число не начинается с 1 и не содержит в своей записи нулей и девяток, то либо оно само, либо одно из близких ему чисел делится на 7.

Подсказка

Будут ли числа a - 1, a + 1, a - 10, a + 10, a - 100, a + 100 близкими к a?

Решение

Отсутствие 0 и 9 в записи числа a дает нам возможность утверждать, что близкими к a будут числа a - 1, a + 1, a - 10, a + 10, a - 100, a + 100. Очевидно, что все эти числа, а также число a, имеют разные остатки от деления на 7. Поскольку среди остатков есть 0, то задача решена.

MMOnline