Задачки

Условие

Шарообразная планета окружена 25-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдется точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 11 астероидов.

Подсказка

Один астероид не может быть одновременно виден из двух диаметрально противоположных точек планеты.

Решение

Проведем плоскость P через центр планеты и два произвольных астероида. Проведем через центр планеты также прямую L, перпендикулярную плоскости P. Прямая L пересечет поверхность планеты в двух диаметрально противоположных точках - A и B. Понятно, что два астронома в точках A и B не могут видеть один и тот же астероид, а также не могут видеть два астероида, лежащие в плоскости P. Следовательно, вместе они наблюдают не более 25-2=23 астероидов. Значит, один из астрономов видит не более 11 астероидов (принцип Дирихле).

МЦНМО