Задачки

Условие

Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

Подсказка

Если отрезки, освещенные n-м и (n + 2)-м фонарями, пересекаются, то (n + 1)-й фонарь можно выключить.

Решение

Ответ: 1998. Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные n-м и (n + 2)-м фонарями, пересекаются, то (n + 1)-й фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами, не пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999 непересекающихся отрезков длины 1 м. Значит, фонарей не больше 1998. Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен 0,5 м, а 1998-й равен 999,5 м. Между n-м и (n + 2)-м отрезком остается зазор в 1 / 1997 м. Его освещает только (n + 1)-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.

МЦНМО