MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 17 февраля 2004 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

А.В.Болсинов
Интегрируемые геодезические потоки на римановых многообразиях: конструкции и препятствия.

Геодезический поток – это система дифференциальных уравнений, описывающая движение точки по римановому многообразию (например, по поверхности в трехмерном пространстве) в отсутствии внешних сил. Интегрируемость геодезического потока можно понимать двояко. С аналитической точки зрения она означает возможность решения системы в квадратурах, с топологической – регулярность глобального поведения интегральных траекторий. Хорошо известно, что интегрируемость – явление исключительное. Разумеется, нет никакой проблемы построить локальные примеры интегрируемых геодезических потоков. Однако в целом на компактном многообразии сделать это можно далеко не всегда.

Основной вопрос, который будет обсуждаться в докладе, формулируется так: какие замкнутые многообразия допускают интегрируемые геодезические потоки? Недавно было обнаружено, что ответ зависит от функционального класса, с которым мы хотим работать. Например, существуют многообразия, которые не допускают аналитически интегрируемых геодезических потоков, но имеют очень естественные потоки, интегриуемые в гладком смысле.

Простейшим примером служат так называемые трехмерные SOL-многообразия. Геодезические потоки на них обладают еще одним удивительным свойством: они интегрируемы, но имеют положительную топологическую энтропию. В докладе будет также рассказано о классических и недавних результах о топологических препятствиях к интегрируемости (Динабург, Козлов, Тайманов, Патернайн) и способах построения интегрируемых геодезических потоков (Якоби, Клеро, Лиувилль, Штеккель,...)

Московское Математическое Общество