MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

12 октября (вторник) в 18:10 в аудитории 16–24 Главного здания МГУ состоится очередное зачедание Московского Математического Общества. На заседании состоится доклад В.И. Арнольда «Матричная теорема Эйлера – Ферма».

Обобщенная Эйлером малая теорема Ферма имеет вид сравнения $a^{\phi(n)}=1$ (mod $n$), где $\phi(n)$ – функция Эйлера, значение которой равно числу взаимно простых с $n$ остатков от деления на $n$.

Эта теорема вытекает из того, что диаграмма Юнга операции умножения всех взаимно простых с $n$ вычетов на один из них является прямоугольником.

Матричный аналог заменяет целое число $a$ целочисленной матрицей $A$ (любого конечного порядка), а сравнение имеет вид соотношения между следами: след матрицы $A^n$ = следу матрицы $A^(n-\phi(n))$ (mod $n$). Это сравнение доказано сейчас для $n=p^a$, где $p$ простое число и $a=1,2,$ или $3$. Для $n=6$ оно неверно, а для $a=4$ доказано при $p<30$. Кроме того, вопрос о его справедливости для всех матриц $A$ при фиксированном простом $p$ алгоритмически разрешим (для $p=11, ldots, 29$ потребовалась компьютерная реализация этого алгоритма, выполненная М.Э. Казаряном).

Исследования сравнений Эйлера – Ферма основаны на замечательной формуле теории симметрических функций, которую я называю формулой Жирара – Ньютона, так как ее следовало бы включить в статьи Жирара (1626) и Ньютона (1707), которые лишь доказали ее существование, но не выписали эту формулу (доставляющую и энтропию Шеннона).

Московское Математическое Общество