MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 11 марта 2003 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

Л.Р. Волевич

Многогранник Ньютона в задачах для линейных уравнений в частных производных

Многогранник Ньютона полинома от нескольких переменных - это выпуклая оболочка множества показателей его мономов, так или иначе пополненного. Границу многогранника Ньютона можно воспринимать как одно из возможных обобщений степени полинома от одного переменного на случай нескольких переменных. Но это понятие значительно более информативно, чем понятие степени. Промежуточным является является понятие взвешенной степени, когда при вычислении степени монома степени различных переменных суммируются с различными весами. Многогранник Ньютона концентрирует информацию о всевозможных взвешенных степенях и соответствующих старших частях: они отвечают его граням.

Многогранником Ньютона линейного дифференциального оператора в частных производных называется многогранник Ньютона его символа.

Первая часть доклада будет посвящена чисто алгебраической задаче описания необходимых и достаточных условий на полином от нескольких переменных, при которых он допускает оценку снизу через сумму модулей входяших в него мономов. Впервые эта задача была решена В.П. Михайловым. Дифференциальные операторы с символами из этого класса являются естественными обобщениями эллиптических операторов.

В нестационарных уравнениях в частных производных имеется каноническое разбиение переменных на две группы: время и пространственные переменные, соответственно отдельно учитываются степени по этим переменным, что и приводит к естественному использованию многоугольника Ньютона на плоскости. Его рассмотрение позволяет дать далеко идущее обощение введенных Петровским классов параболических уравнений и систем.

В докладе будут также кратко рассмотрены задачи для общих эллиптических систем с большим параметром. Понятие многоугольника Ньютона играет решающую роль в построении их теории.

Московское Математическое Общество