MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 25 февраля 2003 г. (начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

А.А.Глуцюк
Одновременная униформизация слоений на римановы поверхности

(Почти) комплексная структура на двумерной поверхности - это семейство комплексных структур (т.е., "операторов умножения на $i$") на касательных плоскостях к ней. Известна следующая теорема (Морри, Векуа, Альфорс, Берс, ...): всякая измеримая почти комплексная структура на $Bbb R^2$ с ограниченной дилатацией эквивалентна комплексной прямой $Bbb C$ со стандартной комплексной структурой.

В докладе будет рассказано о расслоенных аналогах этой теоремы для слоений на римановы поверхности. А именно, рассмотрим двумерное слоение на римановом многообразии $(M,g)$ (в большинстве случаев многообразие предполагается компактным). Метрика $g$ индуцирует комплексную структуру на каждом листе. Предположим, что при этом каждый лист становится параболической римановой поверхностью, т.е., его универсальная накрывающая, снабженная естественной комплексной структурой, конформно эквивалентна $Bbb C$. Из гладкой версии теоремы следует, что на каждом листе $L$ существует функция $phi:LtoBbb R_+$ класса $C^{infty}$, такая что метрика $phi g$ листа плоска и полна.

Вопрос 1. Можно ли выбрать функцию $phi:MtoBbb R_+$ класса $C^{infty}$, такую что ограничение метрики $phi g$ на каждый лист является плоской и полной метрикой?

Вопрос 2. В случае положительного ответа, можно ли выбрать евклидову метрику $g'$ на $M$, совпадающую с $phi g$ вдоль листов, для которой каждый лист вполне геодезичен?

Аналогичные вопросы были исследованы А.Верховским, А.Канделем, Х.Гомес-Монтом и А.Линсом Нето для некоторых голоморфных слоений на аналитические кривые. Кандель получил полный ответ на вопрос 1 для ламинаций на гиперболические (эллиптические) римановы поверхности.

Вопрос 1 был сформулирован Э.Жисем и исследован им же в 1995 г. для линейных слоений на $Bbb T^3$ с нестандартной метрикой, в предположении, что линейная функция, задающая слоение, удовлетворяет диофантову условию. Положительный ответ для произвольного линейного слоения (без диофантова условия) на $Bbb T^n$ с произвольной нестандартной метрикой был получен докладчиком в 1999 г., и был доказан положительный ответ на вопрос 2 при некотором Диофантовом условии на слоение. Это диофантово условие оптимально.

В докладе будут обсуждены упомянутые выше и близкие к ним результаты и сформулированы некоторые открытые задачи. Будет также рассказано о голоморфных расслоенных аналогах теоремы 1 для одномерных голоморфных слоений (теоремы Берса и Ильяшенко об одновременной униформизации).

Московское Математическое Общество