MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Классическое преобразование Радона в двумерном случае сопоставляет функции ее интегралы вдоль прямых. Задача обращения этого преобразования была решена в 1917 г. Это решение лежит в основе современной томографии. Обобщенное преобразование Радона сопоставляет функции ее интегралы вдоль кривых, "близких" к прямым. Множество соответствующих кривых должно быть регулярным, т.е. топологически устроенным, как множество прямых. Задача обращения для обобщенного преобразования Радона не была решена до самого последнего времени. Большой интерес представляет и нелинейная задача восстановления конформно плоской метрики в круге по длинам геодезических в предположении, что метрика достаточно близка к плоской. В прикладной математике эта задача известна под именем основной кинематической задачи сейсмики или задачи ультразвуковой томографии.

В докладе будет рассказано о недавно полученном решении задачи обращения обобщенного преобразования Радона на плоскости. Это решение получено на основе редукции к задаче обращения для некоторого класса интегральных операторов Фурье. Кроме задачи обращения в интегральной геометрии рассматривается и задача описания образа соответствующего преобразования. Для преобразования Радона этот образ в пространстве всех функций на прямых имеет коразмерность бесконечность и выделяется условиями Кавальери (условиями Людвига-Хелгасона). Удалось получить условия Кавальери и для обобщенного преобразования Радона, однако их достаточность пока не доказана. Что касается основной кинематической задачи сейсмики, то пока получено только ее локальное решение, и в докладе будет рассказано о современном состоянии дел в этом вопросе.

Московское Математическое Общество