MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 25 ноября 2003 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

В.И. Арнольд
Динамика Ферма, арифметика матриц, конечная окружность и конечная плоскость Лобачевского.

Малая теорема Ферма имеет следующее матричное обобщение: если число $p$ простое, то разность между $p$-ой степенью суммы нескольких слагаемых и суммой их $p$-ых степеней делится на $p$ и даже представима в виде многочлена от основных симметрических функций слагаемых с делящимися на $p$ коэффициентами.

Например, след $p$-ой степени матрицы сравним со следом исходной матрицы по модулю $p$.

Конечная окружность состоит из пар вычетов по модулю $p$, сумма квадратов которых равна единице. Она является конечной коммутативной группой. Оказывается, эта группа~ --- циклическая, порядка либо $p+1$, либо $p-1$.

Описанные теории позволяют получить, например, такую теорему о динамической системе в пространстве унимодулярных матриц второго порядка из вычетов по простому модулю $p$: Цепочка, полученная из матрицы $k$ последовательными возведениями предыдущей матрицы цепочки в квадрат, заканчивающаяся единичной матрицей (предшествуемой не единичной) существует тогда и только тогда, когда число $p$ дает при делении на 2 в степени $k$ либо остаток 1, либо остаток -1.

Например, для $p=5$ и 11 максимальная длина $k$ цепочки равна 2, а для $p=17$ и для $p=47$ максимальная длина $k$ равна 4.

Московское Математическое Общество