MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 4 ноября 2003 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

В.В.Фок.
Высшие пространства Тейхмюллера и кластерные алгебры.

Высшим пространством Тейхмюллера ${cal X}(S,G)$ называется одна из связных компонент (выделяемая несложным условием положительности) пространства дискретных вложениий фундаментальной группы двумерной римановой поверхности в вещественную расщепимую простую группу Ли. В случае $G=PSL(2,{mathbb R}$ это пространство, согласно теореме униформизации Пуанкаре, совпадает с обычным пространством Тейхмюллера --- пространством комплексных структур на $S$, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизмов, гомотопически эквивалентных тождественному. В случае $G=PSL(3,{mathbb R})$ это пространство является пространством выпуклых вещественно-проективных структур на $S$, введенных и изученных Голдманом (William Goldman) и Чоем (Suhyong Choi).

Понятие кластерной алгебры было введено Андреем Зелевинским и Сергеем Фоминым в связи с изучением систем алгебры функций на двойных клетках Брюа простых групп Ли. Слово "алгебра" в этом контексте не очень удачно, поскольку более естественно связывать с этим понятием не алгебру, а категорию. Объекты этой категории задаются, с точностью до изоморфизма, кососимметризуемыми целочисленными матрицами, а морфизмы задаются явными обралзующими и соотношениями. У этой категории существует шесть замечательных реализаций в категории алгебр, (одна из которых и есть алгебра, служившая отправной точкой Зелевинскому и Фомину).

Основным результатом, который будет изложен в докладе, является утверждение о том, что алгебра функций на обобщенных пространствах Тейхмюллера является реализацией кластерной алгебры. С одной стороны, это дает многие свойства общих кластерных алгебр, а с другой --- насколько это возможно явное описание обобщенных пространств Тейхмюллера, действия на них модулярной группы, так называемого "тропического" или "ламинационного" предела, скобки Пуассона и квантования. А также удается проследить связь с кристальными базисами Каcивары (Masaki Kashiwara) и Люстига (George Lustig) а также "сотовой" (honeycomb) конструкцией сплетающих операторов Кнутсoна (Allen Knutson) и Тао (Terence Tao).

Доклад основан на совместной работе автора с А. Гончаровым.

Московское Математическое Общество