MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 23 сентября 2003 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

А. Э. Гутерман, А. В. Михалев
Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты

Теория линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, восходит к классической работе Г. Фробениуса, в которой для построения теории представлений конечных групп потребовалось охарактеризовать линейные биективные отображения пространства матриц с комплексными коэффициентами, не меняющие определитель. В последствии эта тематика получила свое развитие в работах Шура и Дьедонне. Особенно интенсивно указанное направление развивается в течение последних 30 лет, как в связи с целым рядом естественных алгебраических вопросов, так и в связи с различными приложениями. Современному состоянию теории посвящены специальные выпуски журнала Linear and Multilinear Algebra: 1993 и 2001 годов.

В докладе будет дан исторический обзор основных результатов, отражено современное состояние рассматриваемой теории и ее взаимосвязь с другими областями современной математики. Будут приведены недавние результаты авторов в этом направлении. В том числе: некоммутативный вариант теоремы Фробениуса для определителя Дьедонне и результаты о сохранении супер-ранга матриц над градуированными алгебрами. Будет представлен новый метод решения указанных задач, который даже в случае матриц над полями позволяет получить ряд новых содержательных результатов, таких, как характеризация монотонных отображений, отображений, сохраняющих нули многочленов и серию важных отношений, определяемых в терминах ранга матриц. Будет представлена полукольцевая версия многих классических результатов о линейных отображениях, сохраняющих матричные инварианты, и рассказано, что дает метод теории моделей для решения возникающих задач. Планируется сформулировать ряд открытых вопросов.

Московское Математическое Общество