MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном, так и на устном экзамене.

Второй раздел представляет собой перечень вопросов теоретической части устного экзамена. При подготовке к письменному экзамену целесообразно познакомиться с формулировками утверждений этого раздела.

В третьем разделе указано, какие навыки и умения требуются от поступающего на письменном и устном экзаменах.

Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе, соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств из этого курса, включая и начала анализа. Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в настоящей программе. Объекты и факты, не изучаемые в общеобразовательной школе, также могут использоваться поступающими, но при условии, что он способен их пояснять и доказывать.

В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием отдельные утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках называться иначе, чем в программе, или формулироваться в виде задач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не освобождают поступающего от необходимости знать эти утверждения.

1. Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
   
   
2. Целые, рациональные и действительные числа. Проценты. Модуль числа, степень, корень, арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
   
   
3. Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества.
   
   
4. Функция, ее область определения и область значений. Возрастание, убывание, периодичность, четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее значения функции. График функции.
   
   
5. Линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции.
   
   
6. Уравнение, неравенства, система. Решения (корни) уравнения, неравенства, системы. Равносильность.
   
   
7. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
   
   
8. Прямая на плоскости. Луч, отрезок, ломаная, угол.
   
   
9. Треугольник. Медиана, биссектриса, высота.
   
   
10. Выпуклый многоугольник. Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция. Правильный многоугольник. Диагональ.
    
    
11. Окружность и круг. Радиус, хорда, диаметр, касательная, секущая. Дуга окружности и круговой сектор. Центральный и вписанные углы.
    
    
12. Прямая и плоскость в пространстве. Двугранный угол.
    
    
13. Многогранник. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.
    
    
14. Цилиндр, конус, шар, сфера.
    
    
15. Равенство и подобие фигур. Симметрия.
    
    
16. Параллельность и перпендикулярность прямых, плоскостей. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
    
    
17. Касание. Вписанные и описанные фигуры на плоскости и в пространстве. Сечение фигуры плоскостью.
    
    
18. Величина угла. Длина отрезка, окружности и дуги окружности. Площадь многоугольника, круга и кругового сектора. Площадь поверхности и объем многогранника, цилиндра, конуса, шара.
    
    
19. Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Векторы.

Алгебра

1. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
   
   
2. Свойства числовых неравенств.
   
   
3. Формулы сокращенного умножения.
   
   
4. Свойства линейной функции и ее график.
   
   
5. Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители. Теорема Виета.
   
   
6. Свойства квадратичной функции и ее график.
   
   
7. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.
   
   
8. Формулы общего члена и суммы n первых чисел членов арифметической прогрессии.
   
   
9. Формулы общего члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.
   
   
10. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. Свойства арифметических корней n-й степени. Свойства степеней с рациональными показателями.
    
    
11. Свойства степенной функции с целым показателем и ее график.
    
    
12. Свойства показательной функции и ее график.
    
    
13. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию.
    
    
14. Свойства логарифмической функции и ее график.
    
    
15. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы приведения, сложения, двойного и половинного аргумента, суммы и разности тригонометрических функций. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму. Преобразование выражения a sin{x} + b cos{x} с помощью вспомогательного аргумента.
    
    
16. Формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
    
    
17. Свойства тригонометрических функций и их графики.

Геометрия

1. Теоремы о параллельных прямых на плоскости.
   
   
2. Свойства вертикальных и смежных углов.
   
   
3. Свойства равнобедренного треугольника.
   
   
4. Признаки равенства треугольников.
   
   
5. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Свойства средней линии треугольника.
   
   
6. Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников.
   
   
7. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников. Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
   
   
8. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство биссектрисы угла.
   
   
9. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис и пересечении высот треугольника.
   
   
10. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону.
    
    
11. Свойство касательной к окружности. Равенство касательных, проведенных из одной точки к окружности. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле, образованном касательной и хордой. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами и об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки. Равенство произведений отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата касательной произведению секущей на ее внешнюю часть.
    
    
12. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство четырехугольника, описанного около окружности.
    
    
13. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. Теорема об окружности, описанной около треугольника.
    
    
14. Теоремы синусов и косинусов для треугольника.
    
    
15. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.
    
    
16. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.
    
    
17. Свойства средней линии трапеции.
    
    
18. Формула для вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Уравнение окружности.
    
    
19. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей.
    
    
20. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

На экзамене по математике поступающий должен уметь:

1. выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми выражениями; преобразовывать буквенные выражения; производить операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное произведение); переводить одни единицы измерения величин в другие;
   
   
2. сравнивать числа и находить их приближенные значения (без калькулятора); доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;
   
   
3. решать уравнения, неравенства, системы (в том числе с параметрами) и исследовать их решения;
   
   
4. исследовать функции; строить графики функций и множества точек на координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;
   
   
5. изображать геометрические фигуры на чертеже; делать дополнительные построения; строить сечения; исследовать взаимное расположение фигур; применять признаки равенства, подобия фигур и их принадлежности к тому или иному виду;
   
   
6. пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессий;
   
   
7. пользоваться свойствами геометрических фигур, их характерных точек, линий и частей, свойствами равенства, подобия и взаимного расположения фигур;
   
   
8. пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени, корни, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов, длины, площади, объемы;
   
   
9. составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя из условия задачи;
   
   
10. излагать и оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми пояснениями.

На устном экзамене поступающий должен дополнительно уметь:

11. давать определения, формулировать и доказывать утверждения (формулы, соотношения, теоремы, признаки, свойства и т.п.), указанные во втором разделе настоящей программы;
    
    
12. анализировать формулировки утверждений и их доказательства;
    
    
13. решать задачи на построение циркулем, линейкой; находить геометрические места точек.

www.msu.ru